PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de semiconductores - electrónica física , cristalografía

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Problemas de física de semiconductores

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Ejercicios de física electrónica


Demostrar que la expresión que proporciona los niveles de energía discretos de un electrón en un pozo unidimensional y simétrico es:
    \(\displaystyle E_n = \frac{1}{2 m}\left(\frac{\hbar n \pi}{a}\right)^2 \qquad \textrm{ con } n = 1, 2, 3, \ldots \)
Respuesta del ejemplo 17

La expresión analítica de un pozo de potencial es:
    \( V(x) = \left\{ \begin{array}{l} \infty \textrm{ en } x<0 ; x>a\\ \\ 0 \textrm{ en } 0 < x < a \end{array}\right. \)
celda unidad de una estructura fcc

para conocer los niveles posibles de energía dentro del pozo, deberemos resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, que para una dimensión toma la forma:
    \(\displaystyle \begin{array}{l} \frac{d^2 \Psi}{dx^2} + \frac{2m}{\hbar^2} E \Psi = 0 \Rightarrow \frac{d^2 \Psi}{dx^2} + \alpha^2 \Psi = 0 \; \\ \\ \textrm{ con } \alpha^2 = \frac{2m}{\hbar^2} E \end{array}\)
La solución general para esta ecuación puede escribirse:
    \(\Psi(x) = A e^{i \alpha x} + B e^{-i \alpha x} = C \cos \alpha x + D \sin \alpha x \)
Para conocer la relación entre C, D y \( \alpha \) tenemos en cuenta que la función de onda se anula fuera del pozo (si las paredes son infinitas el electrón no puede salir) Por lo tanto:
    \(\begin{array}{l} x = 0 \Rightarrow \Psi(0) = 0 \Rightarrow C = 0\\ \\ x = a \Rightarrow \Psi(a) = 0 \Rightarrow D \sin \alpha a = 0 \end{array}\)
Si tomamos D = 0 la función se hace idénticamente nula y no nos interesa. Así pue tomaremos:
    \(\sin (\alpha· a) = 0 \Rightarrow 0 \Rightarrow \alpha a = \pi n \textrm{ con } n = 1, 2, 3, \ldots\)
y la solución para \( \ (x) \) podrá escribirse:
    \(\displaystyle \Psi(x) = D \sin \left( \frac{\pi n}{a} \right) x \qquad ; \quad \textrm{ en } 0 < x < a \)
Si consideramos ahora el valor del parámetro ( \alpha \) resulta :
    \(\displaystyle \alpha = \frac{\pi n}{a} = \frac{\sqrt{2m E}}{\hbar} \)
y podemos obtener:
    \(\displaystyle E = \frac{1}{2 m}\left(\frac{\hbar n \pi}{a}\right)^2 \quad ; \quad \textrm{ con } n = 1, 2, 3, \ldots \)
Expresión que nos da los valores permitidos de energía para el electrón en el pozo de potencial estudiado
Problemas de física de semiconductores - problemas resueltos de cristalografía


tema escrito por: José Antonio Hervás