Ejercicios de física electrónica
Respuesta del ejemplo 13
Por la, definición de índices de líiller
un plano de la familia (hkl) intercepta a los ejes coordenados
en los puntos c/h , c/k , c/l, siendo c una constante de pro porcionalidad.
Por geometría sabemos que un vector es perpendicular a
un plano si lo es a dos vectores situados en él. Tomemos
entonces dos vectores del plano:
\(\displaystyle \vec{v_1} = \overrightarrow{OP_1} - \overrightarrow{OP_2}
= \frac{c}{h}· \vec{a_1} - \frac{c}{k}· \vec{a_2}
\)
\(\displaystyle \vec{v_2} = \overrightarrow{OP_2} - \overrightarrow{OP_3}
= \frac{c}{k}· \vec{a_2} - \frac{c}{k}· \vec{a_3}
\)
|  |
donde \( \vec{a_1}, \vec{a_2} \; y \; \vec{a_3} \) son vectores
unitarios a lo largo de los ejes.
Estos dos vectores han de ser perpendiculares a la dirección
[hkl] que viene definida por el vector:
\( \vec{v} = h ·\vec{a_1} + k · \vec{a_2} + l ·
\vec{a_3} \)
El producto escalar de \( \vec{v} \textrm{ con } \vec{v_1} \;
y \; \vec{v_2} \) es, respectivamente:
\(\displaystyle \vec{v}· \vec{v_1} = \left( h \vec{a_1} + k
\vec{a_2} + l \vec{a_3} \right) · \left(\frac{c}{h} \vec{a_1}
- \frac{c}{k} \vec{a_2}\right) = c \left(\frac{h}{h} - \frac{k}{k}\right)
= 0 \)
\(\displaystyle \vec{v}· \vec{v_2} = \left( h \vec{a_1} + k
\vec{a_2} + l \vec{a_3} \right) · \left(\frac{c}{k}· \vec{a_2}
- \frac{c}{l}· \vec{a_3}\right) = c \left(\frac{k}{k} - \frac{l}{l}\right)
= 0 \)
puesto que
\( \begin{array}{l}
\vec{a_1} · \vec{a_1} = \vec{a_2} · \vec{a_2} = \vec{a_3} · \vec{a_3} = 1 \\
\\
\vec{a_1} · \vec{a_2} = \vec{a_2} · \vec{a_3} = \vec{a_1} · \vec{a_3} = 0
\end{array}\)
por ser vectores unitarios ortogonales
Hemos obtenido así la condición de perpendicularidad
para los dos vectores y podemos decir que la dirección
[hkl] es perpendicular al plano (hkl).