PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
cuestiones resueltas de electrónica física

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Problemas de física de semiconductores

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Ejercicios de física electrónica

Respuesta del ejemplo 13

Por la, definición de índices de líiller un plano de la familia (hkl) intercepta a los ejes coordenados en los puntos c/h , c/k , c/l, siendo c una constante de pro porcionalidad.

Por geometría sabemos que un vector es perpendicular a un plano si lo es a dos vectores situados en él. Tomemos entonces dos vectores del plano:
    \(\displaystyle \vec{v_1} = \overrightarrow{OP_1} - \overrightarrow{OP_2} = \frac{c}{h} \vec{a_1} - \frac{c}{k} \vec{a_2} \)

    \(\displaystyle \vec{v_2} = \overrightarrow{OP_2} - \overrightarrow{OP_3} = \frac{c}{k} \vec{a_2} - \frac{c}{k} \vec{a_3} \)
esquema de un plano

donde \( \vec{a_1}, \vec{a_2} \; y \; \vec{a_3} \) son vectores unitarios a lo largo de los ejes.

Estos dos vectores han de ser perpendiculares a la dirección [hkl] que viene definida por el vector:
    \( \vec{v} = h \vec{a_1} + k \vec{a_2} + l \vec{a_3} \)
El producto escalar de \( \vec{v} \textrm{ con } \vec{v_1} \; y \; \vec{v_2} \) es, respectivamente:
    \(\displaystyle \vec{v} \vec{v_1} = \left( h \vec{a_1} + k \vec{a_2} + l \vec{a_3} \right) \left(\frac{c}{h} \vec{a_1} - \frac{c}{k} \vec{a_2}\right) = c \left(\frac{h}{h} - \frac{k}{k}\right) = 0 \)

    \(\displaystyle \vec{v} \vec{v_2} = \left( h \vec{a_1} + k \vec{a_2} + l \vec{a_3} \right) \left(\frac{c}{k} \vec{a_2} - \frac{c}{l} \vec{a_3}\right) = c \left(\frac{k}{k} - \frac{l}{l}\right) = 0 \)

puesto que

    \( \begin{array}{l} \vec{a_1} \vec{a_1} = \vec{a_2} \vec{a_2} = \vec{a_3} \vec{a_3} = 1 \\ \\ \vec{a_1} \vec{a_2} = \vec{a_2} \vec{a_3} = \vec{a_1} \vec{a_3} = 0 \end{array}\)

por ser vectores unitarios ortogonales

Hemos obtenido así la condición de perpendicularidad para los dos vectores y podemos decir que la dirección [hkl] es perpendicular al plano (hkl).

Problemas de física de semiconductores - problemas resueltos de cristalografía


tema escrito por: José Antonio Hervás