PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de semiconductores - electrónica física , cristalografía

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Ejercicios de física electrónica

Demostrar que la máxima fracción que puede llenarse con esferas rígidas de un cierto volumen es el siguiente :
a) Estructura cúbica simple (red tipo sc), 0,52.
b) red de tipo bcc, 0,68.
c) red de tipo fcc, 0,74.
d) estructura tipo diamante, 0,34.

Respuesta del ejemplo 10

A la celda unidad de la estructura cúbica simple (red sc) le corresponde 1 átomo, y puesto 'que la distancia mínima entre dos átomos es igual al lado del cubo, tendremos que el volumen del átomo, considerado como esfera, es:
    \(\displaystyle V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^3 \)
Si la celda tiene un volumen total dado por \( a^3 \), resultará:
    \(\displaystyle F = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{1}{2}\right)^3 \times 100 \textrm{ % } = 52 \textrm{ % } \)
A la celda unidad de la estructura tipo bcc le corresponden 2 átomos, es decir, 1 que contiene la red sc más el del centro. En este caso, la distancia mínima entre dos átomos (diámetro atómico) es la mitad de la diagonal del cubo, pues en esta situación estarían en contacto dos átomos de los vértices con el situado en el centro. Así pues, el volumen de un átomo será en este caso:
    \(\displaystyle V = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{a \sqrt{3}}{4}\right)^3 \)
y la fracción de volumen ocupada por los dos átomos será í
    \(\displaystyle F =2 \times \frac{4}{3} \pi \left(\frac{ \sqrt{3}}{4}\right)^3 \times 100 \textrm{ % } = 68 \textrm{ % }\)
En el caso de la estructura fcc hemos obtenido en el ejercicio 9
    \(\displaystyle F =4 \times \frac{4}{3} \pi \left(\frac{1}{2 \sqrt {2}}\right)^3 \times 100 \textrm{ % } = 74 \textrm{ % }\)
Finalmente, para la estructura tipo diamante, que ya sabemos que contiene 8 átomos por celda unidad, el diámetro atómico es la mitad de la diagonal de un cubo de arista mitad que la del cubo unitario, es decir:
    \(\displaystyle d_a = \frac{1}{2}\sqrt{3 \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{\sqrt{3}}{4} a \Rightarrow r = \frac{\sqrt{3}}{8} a \)
y tendremos :
    \(\displaystyle V = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{a \sqrt{3}}{8}\right)^3 \; ; \; F = 8 \times \frac{4}{3} \pi \left(\frac{ \sqrt{3}}{8}\right)^3 100 \textrm{ % } = 34 \textrm{ % }\)
Problemas de física de semiconductores - problemas resueltos de cristalografía
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tema escrito por: José Antonio Hervás