PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
cuestiones resueltas de electrónica física

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Problemas de física de semiconductores

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Ejercicios de física electrónica

Respuesta del ejemplo 6

Consideramos la solución de la ecuación de Schrödinger obtenida en el ejercicio anterior; por la continuidad de y de su derivada primera en x = 0, tendremos
    \( A_i + A_r = A_t \quad ; \quad k_1\left(A_i - A_r\right) = k_2 A_t \)
de donde resulta:
    \(\displaystyle \frac{A_r}{A_i} = \frac{k_1 - k_2}{k_1 + k_2} \quad ; \quad \frac{A_t}{A_i} = \frac{2 k_1}{k_1 + k_2} \qquad (\ast) \)
y teniendo en cuenta valores numéricos:
    \(\displaystyle \frac{A_r}{A_i} = \frac{\sqrt{E} - \sqrt{E-V_0}}{\sqrt{E} + \sqrt{E-V_0}} = 0,026 \; ; \; \frac{A_t}{A_i} = \frac{2 \sqrt{E}}{\sqrt{E} + \sqrt{E-V_0}} = 1,026 \)
Puede demostrarse que la densidad de probabilidad satisface la ecuación de continuidad:
    \(\displaystyle \frac{\partial P}{\partial t} + \vec{\nabla} \vec{j} = 0 \quad ; \quad \textrm{ con } \vec{j} = \frac{\hbar}{2mi}\left[\Psi^\ast \vec{\nabla}\Psi - (\nabla \Psi ^\ast)\Psi\right] \)
donde j recibe el nombre de densidad de corriente de probabilidad, que para el caso que estamos considerando valdrá, en x < 0 :
    \(\displaystyle j = \frac{\hbar}{m} k_1 \left(A_i^\ast A_i - A_r^\ast A_r \right) \)
Y análogamente, en x > 0:
    \(\displaystyle j = \frac{\hbar}{m} k_2 \left(A_t^\ast A_t \right) \)
La igualdad de estos dos valores está asegurada por la ecuación de continuidad, que para un estado estacionario y en una dimensión se reduce a la forma dj/dx = 0. Por lo tanto:
    \(\displaystyle \frac{\hbar}{m} k_1 \left(A_i^\ast A_i - A_r^\ast A_r \right) = \frac{\hbar}{m} k_2 \left(A_t^\ast A_t \right) \)
Expresión que también podemos poner:
    \(\displaystyle \frac{A_r^\ast A_r}{A_i^\ast A_i} + \frac{k_2}{k_1} \frac{A_t^\ast A_t}{A_i^\ast A_i} = 1 \Rightarrow \frac{\left|A_r\right|^2}{\left|A_i\right|^2} + \frac{k_2}{k_1} \frac{\left|A_t\right|^2}{\left|A_i\right|^2} = 1 \)
Si en este punto tenemos en cuenta la expresión (*) obtenida anteriormente, resulta:
    \(\displaystyle \frac{\left|A_r\right|^2}{\left|A_i\right|^2} = \frac{\left(k_1 - k_2\right)^2}{\left(k_1 + k_2\right)^2} \quad ; \quad \frac{k_2}{k_1} \frac{\left|A_t\right|^2}{\left|A_i\right|^2} = \frac{4 k_1k_2}{\left(k_1 + k_2\right)^2} \)
Y considerando valores numéricos
    \(\displaystyle \frac{\left|A_r\right|^2}{\left|A_i\right|^2} = 6,9 \times 10^{-4} \quad ; \quad \frac{\left|A_t\right|^2}{\left|A_i\right|^2} = \frac{4 k_1^2}{\left(k_1 + k_2\right)^2} = 1,05\)
Problemas de física de semiconductores - problemas resueltos de cristalografía


tema escrito por: José Antonio Hervás