PROBLEMAS RESUELTOS
DE FÍSICA
ejercicios resueltos de semiconductores - electrónica física , cristalografía

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Problemas de física de semiconductores

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Ejercicios de física electrónica

Una red cúbica tridimensional tiene N átomos, con Z electrones de valencia cada uno de ellos. Suponiendo que los electrones pueden moverse libremente en el sólido cuando actúa sobre ellos un campo eléctrico (aproximación de electrones libres), deducir la expresión que proporciona el radio de la esfera de Fermi en el espacio reciproco.

Respuesta del ejemplo 4

Considerando la aproximación de electrones libres, los niveles de energía de un electrón vienen dados por:
    \(\displaystyle E = \frac{\hbar^2}{2m} \vec{k}\;^2 \qquad ; \qquad \textrm{ con } \vec{k}\;^2 = k_x^2 + k_y^2 + k_z^2 \)
y
    \(\displaystyle k_x = \frac{2 \pi n_x}{L} \quad ; \quad k_y = \frac{2 \pi n_y}{L} \quad ; \quad k_z = \frac{2 \pi n_z}{L}\)
Siendo L la longitud del cubo unitario y \( n_x , n_y, n_z \; \) números enteros,

Podemos representar los niveles de energía por un sistema de puntos en el espacia recíproco (espacio de los vectores de onda k) , con \( (L/2 \pi )^3 \) puntos por unidad de volumen ya que, según hemos visto anteriormente, el elemento de volumen en el espació recíproco es \( (2\pi/L)^3 \).

Todos los estados ocupados llenan completamente una esfera de radio \( k_p \), llamada esfera de Fermi, por lo qué teniendo en cuenta la degeneración de spin de los electrones, el número total de ellos en el sistema será:
    \(\displaystyle 2 \times \frac{4}{3} \pi k_F^3 \left(\frac{L}{2 \pi}\right)^3 \)
Ahora bien, si N es el número de átomos en la red y cada átomo tiene Z electrones de valencia, podemos hacer:
    \(\displaystyle N Z = \frac{1}{3} \pi k_F^3 \left(\frac{L}{ \pi}\right)^3 \Rightarrow k_F = \left(\frac{3NZ \pi ^2}{L^3}\right)^{1/3} = 3 \pi^2 n Z \)
siendo \(n = N/L^3 \) el número de electrones por unidad de volumen.
Problemas de física de semiconductores - problemas resueltos de cristalografía


tema escrito por: José Antonio Hervás