PROBLEMAS RESUELTOS DE CIENCIAS FISICAS
cuestiones resueltas de electrónica física

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Problemas de física de semiconductores

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Ejercicios de física electrónica

Respuesta del ejemplo 3

La expresión \( \left[\vec{b_1} \vec{b_2} \vec{b_3}\right] \) es el producto mixto de los vectores \( \vec{b_1} \vec{b_2} y \vec{b_3} \) y es igual al volumen del paralelepípedo formado por dichos vectores. Análogamente se tiene para \( \left[\vec{a_1} \vec{a_2} \vec{a_3}\right] \)

La relación que liga a los vectores primitivos de traslación de la red recíproca de una red cristalina con los de dicha red es:
    \(\displaystyle \vec{b_i} = \frac{2 \pi \left(\vec{a_j}\wedge \vec{a_k}\right)}{\vec{a_i} \left(\vec{a_j}\wedge \vec{a_k}\right) } \qquad \) ; con i,j,k = 1,2,3 valores cíclicos
Según eso, cada uno de los vectores primitivos de la red recíproca valdrá
    \(\displaystyle\begin{array}{l} \vec{b_1} = \frac{2 \pi \left(\vec{a_2}\wedge \vec{a_3}\right)}{\vec{a_1} \left(\vec{a_2}\wedge \vec{a_3}\right) } \quad ; \quad \vec{b_2} = \frac{2 \pi \left(\vec{a_3}\wedge \vec{a_1}\right)}{\vec{a_2} \left(\vec{a_3}\wedge \vec{a_1}\right) } \\ \\ \vec{b_3} = \frac{2 \pi \left(\vec{a_1}\wedge \vec{a_2}\right)}{\vec{a_3} \left(\vec{a_1}\wedge \vec{a_2}\right) } \end{array} \)
y el producto mixto será :
    \(\displaystyle \begin{array}{l}
    \left[\vec{b_1} \vec{b_2} \vec{b_3}\right] = \vec{b_1} \times \left(\vec{b_2}\wedge \vec{b_3}\right) = \\
    \\
    = (2 \pi)^3 · \frac{\left(\vec{a_2}\wedge \vec{a_3}\right)\left[\left(\vec{a_3}\wedge \vec{a_1}\right) \wedge \left(\vec{a_1}\wedge \vec{a_2}\right)\right]}{\left[\vec{a_1} · \left(\vec{a_2}\wedge \vec{a_3}\right)\right]\left[\vec{a_2} · \left(\vec{a_3}\wedge \vec{a_1}\right)\right]\left[\vec{a_3} · \left(\vec{a_1}\wedge \vec{a_2}\right)\right]}
    \end{array} \)
Pero tenemos:
    \( \vec{a_1} \left(\vec{a_2}\wedge \vec{a_3}\right) = \vec{a_2} \left(\vec{a_3}\wedge \vec{a_1}\right) = \vec{a_3} \left(\vec{a_1}\wedge \vec{a_2}\right) = \left[\vec{a_1} \vec{a_2} \vec{a_3}\right] \)
por lo que la expresión anterior nos quedará
    \(\displaystyle = (2 \pi)^3 \frac{\left(\vec{a_2}\wedge \vec{a_3}\right)\left[\left(\vec{a_3}\wedge \vec{a_1}\right) \wedge \left(\vec{a_1}\wedge \vec{a_2}\right)\right]}{\left[\vec{a_1} \vec{a_2} \vec{a_3}\right]^3} \)
Por otra parte, del cálculo vectorial se obtiene que el doble producto vectorial contenido entre corchetes vale:
    \(\left[\left(\vec{a_3}\wedge \vec{a_1}\right) \vec{a_2}\right] \vec{a_1} \)
de donde nos quedará:
    \(\displaystyle = (2 \pi)^3 \frac{\left(\vec{a_2}\wedge \vec{a_3}\right)\left[\left(\vec{a_3}\wedge \vec{a_1}\right) \wedge \left(\vec{a_1}\wedge \vec{a_2}\right)\right]}{\left[\vec{a_1} \vec{a_2} \vec{a_3}\right]^3} = \frac{(2 \pi)^3}{\left[\vec{a_1} \vec{a_2} \vec{a_3}\right]}\)
tal como queríamos demostrar.
Problemas de física de semiconductores - problemas resueltos de cristalografía


tema escrito por: José Antonio Hervás