Cuestiones de electrónica aplicada
Desarrollo del ejemplo 59.- Modulación de frecuencia-
P1(FM).
Tal como hemos dicho, en la modulación de frecuencia ha
de variar el valor de la frecuencia instantánea:
\( \displaystyle \Omega (t) =\Omega + \frac{d\psi (t)}{dt} \)
proporcionalmente al valor instantáneo de la onda moduladora,
en torno a la frecuencia central \(\Omega \). Si la onda portadora
dada por:
\( u_p(t) = A·\sin (\Omega t + \varphi)= A·\sin \psi(t) \)
Es modulada en frecuencia con la señal senoidal:
\( u_m(t) = a·\cos w_1t \qquad ; \qquad con \; w_1 =
2\pi f_1 \)
El valor de la frecuencia instantánea \(\Omega(t) \)
será:
\(\Omega(t) = \frac{d\psi(t)}{dt} = \Omega + \alpha3a·\cos
w_1t \)
y donde \(\alpha \) es un factor de proporcionalidad.
Integrando esta ecuación se tiene:
\( \displaystyle \psi(t) = \Omega·t + \frac{\alpha·a}{w_1}·\sin w_1t + \varphi_o \)
Y despreciando la fase inicial, que no interviene en el proceso
de modulación, la expresión de la onda modulada
en frecuencia será:
\( \displaystyle u(t) = a·\sin \left(\Omega·t + \alpha\frac{a}{w_1}·\sin w_1t\right) \)
El valor instantáneo de la frecuencia de esta onda es:
\( \displaystyle f = \frac{\Omega(t)}{2\pi } = F + \alpha\frac{a}{2\pi}·\sin w_1t \)
Cuyos valores máximo y mínimo corresponden a:
\( \displaystyle f_\max = F + \alpha\frac{a}{2\pi}\qquad ; \qquad f_\min = F - \alpha\frac{a}{2\pi}
\)
La desviación máxima de la frecuencia de la portadora,
en torno a su valor central F, se denomina desviación
de frecuencia \(\triangle F\), y vale:
\( \displaystyle\triangle F = f_\max - F = \alpha\frac{a}{2\pi} \)
Por analogía con la modulación de amplitud, se
llama índica de modulación \(m_f\) a la relación:
\( \displaystyle m_f = \frac{\triangle F}{F} = \frac{\triangle \Omega}{\Omega} = \alpha·\frac{a}{\Omega}
\)
La relación \(\delta\) entre la desviación de
frecuencia \(\triangle F\) y a frecuencia \(f_1\) de la onda
moduladora, se denomina razón desviación y su
valor es:
\( \displaystyle \delta = \frac{\triangle F}{f_1} = \frac{\triangle \Omega}{w_1} = m_f·\frac{\Omega}{w_1} = \alpha·\frac{a}{w_1}
\)
Teniendo en cuenta este valor, la expresión general
de una onda modulada en frecuencia es:
\( \displaystyle u(t) = A·\sin (\Omega t + \alpha·\frac{a}{w_1}·\sin w_1t ) = A·\sin (\Omega t + \delta·\sin w_1t)
\)
Para obtener el espectro de frecuencias de u(t) es necesario
desarrollar previamente la ecuación anterior con lo que
resulta:
\( u(t) = A[\sin \Omega t·\cos(\delta·\sin w_1t)
+ \cos \Omega t·\cos(\delta·\sin w_1t) ] \)