Dado un filtro digital \( \mathfrak{D} \) si dice que una entrada \( e_k \) es una función propia si se cumple:

\( \displaystyle y_k = \sum_{i=-\infty}^{\infty}c_i·x_{k-i} = \sum_{i=-\infty}^{\infty}h_i·x_{k-i} = \lambda·y_k\qquad (1·2) \)

El coeficiente que multiplica a la función propia se llama valor propio.
Las funciones propias son las que mejor se adaptan al estudio de un filtro, pero no existe una técnica general para obtenerlas ni para demostrar que en un filtro determinado puedan existir. El procedimiento para obtenerlas es proponer candidatos y verificar si cumple las condiciones de función propia dadas anteriormente (1·2)

Anteriormente hemos visto en la función impulso daba como salida de un filtro los coeficientes de éste. Por lo tanto no es una función propia. Es fácil ver qué ocurre igual con las funciones salto y rampa. Podemos ensayar con las funciones periódicas que se emplean corrientemente. La salida es, como siempre la convolución entre la entrada y la función impulso:

\( \displaystyle y_k = \cos wk \Rightarrow y_k = \sum_{i=-\infty}^{\infty}h_i·\cos[w(k-i)] \)

Y teniendo en cuenta las propiedades de las funciones trigonométricas:

\( \displaystyle y_k = \cos (wk)·\left[\sum_{i=-\infty}^{\infty}h_i·\cos w·i\right] + \sin (wk)·\left[\sum_{i=-\infty}^{\infty}h_i·\sin w·i\right]\)

Vemos entonces que la entrada \( \cos (wk) \) no es una función propia porque genera componentes \( \sin (wk) \) a la salida.
Si repetimos el razonamiento con \( x_k = \sin (wk)\) llegaríamos a una conclusión análoga.
De todos modos, lo anterior sugiere que probemos con una función que sea una mezcla de \( \sin (wk) \;y \; \cos (wk) \) .Si tomamos una función de la forma:

\( x_k = a·\cos wk + b·\sin wk = A·\cos(wk + \phi) \)

Se comprueba que está entrada no es función propia.
Tomemos, entonces, cómo entrada una función exponencial, que como sabemos puede escribirse:

\( \exp (j·wk9 = \cos wk + j·\sin wk \)

Operando resulta:

\( \displaystyle y_k = \sum_{i=-\infty}^{\infty}h_i·\exp [j·w(k-i)] = \exp (j·wk)\left[\sum_{i=-\infty}^{\infty}h_i·\exp (-j·wi)\right] \)

La salida es justamente la entrada x el término entre corchetes qué es una función de la respuesta impulsional del filtro y de la frecuencia de la entrada, w, y es independiente de k. Conclusión: La exponencial compleja es una función propia de todos los filtros digitales.
Y lo que sigue, al valor propio de la función exponencial lo llamaremos respuesta en frecuencia:

\( \displaystyle H(w) = \sum_{i=-\infty}^{\infty}h_i·\exp (-j·wi)\qquad (2·2) \)

La respuesta en frecuencia es una función compleja con w como variable independiente, que está completamente determinada por la respuesta impulsional del filtro digital.