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CONTROL DE
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CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

 

CAPÍTULO 9.- GRAFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS

Introducción.- Gráfico “p”

Gráfico np para unidades defectuosas


Supongamos un proceso que fabrica tornillos. Una manera de ensayar cada tornillo sería probarlo con una rosca calibrada.

tornillo El resultado de este ensayo sólo tiene dos posibles resultados:
    Defectuoso - No Defectuoso (ó Conforme-No Conforme )
. Si el tornillo no entra en la rosca, se lo considera defectuoso o no conforme.
tornillo con tuerca

Para controlar este proceso, se puede tomar una muestra de tornillos y contar el número de defectuosos presentes en la muestra.

control de fabricación de tornillos

La variable aleatoria número de defectuosos es una variable aleatoria discreta, porque puede tomar un número finito de valores, o infinito numerable. Los gráficos np se utilizan para controlar el número de defectuosos en una muestra.

Para controlar este proceso, un inspector se coloca al final de la línea de producción y cada hora retira una muestra de n=50 tornillos (por ejemplo), comprueba cada uno con la rosca y anota el número de defectuosos.

control del proceso de fabricación

Este resultado se anota en un gráfico hora por hora denominado gráfico np.

Si se tomara del proceso un sólo tornillo ¿Cuál es la probabilidad de que sea defectuoso? Imaginando la población de tornillos que podría fabricar el proceso trabajando siempre en las mismas condiciones, una cierta proporción p de estos serían defectuosos. Entonces, la probabilidad de tomar un tornillo y que sea defectuoso es p.

En una muestra de n tornillos, la probabilidad de encontrar:
    0 defectuosos ; 1 defectuoso ; 2 defectuosos ; ... ; n defectuosos
está dada por una distribución binomial con parámetros n y p.

Como sabemos, el promedio de la población es p y la varianza es n.p.(1-p).

Para construir los gráficos de control np, en una primera etapa se toman N muestras (más de 20 ó 25) a intervalos regulares, cada una con n tornillos. Se cuenta en cada muestra el Número de Defectuosos y se registra. Se obtendría una Tabla como la siguiente:
    \( \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline muestra & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & - \\ \hline N \; defectuosos & 3 & 2 & 4 & 3 & 4 & 2 & 5 & - & - & - \\ \hline \hline \end{array} \)
En cada muestra, la fracción de defectuosos es Di/n, siendo Di el número de elementos defectuosos en la muestra i, y n el número de elementos en la muestra i

A partir de la tabla podemos calcular p como promedio de las fracciones de defectuosos en las muestras:

gráfico np
    \( \displaystyle \bar{p} = \frac{\sum D_i/n}{N} \)
siendo N  el número de muestras, y luego la Desviación Standard s:
    \( s = \sqrt{n\bar{p}(1-\bar{p}} \)
Con esto podemos calcular los Límites de Control para el gráfico np:
    \( \displaystyle LCS = n \bar{p} + 3\sqrt{n\bar{p}(1-\bar{p})} \quad ; \quad LC = n\bar{p} \quad ; \quad LCI = n \bar{p} - 3\sqrt{n\bar{p}(1-\bar{p})} \)
Construimos entonces un Gráfico np de prueba y representamos el número de defectuosos en las muestras.

Si no hay puntos fuera de los límites de control y no se encuentran patrones no aleatorios, se adoptan los límites calculados para controlar la producción futura.

Para las personas con poco entrenamiento estadístico, este gráfico suele ser más fácil de interpretar que el gráfico p. Frecuentemente se utiliza solo el límite superior.

En algunos procesos interesa medir la cantidad de defectos que presentan las unidades de producto que se están fabricando. Por ejemplo, se fabrican móviles y entonces se toma uno de ellos y se cuenta el número total de defectos. Estos podrían ser:

  • Rayas en la superficie.


  • grietas en el plástico


  • Antena defectuosa


  • Botón defectuoso.


  • Etc.
defectos en los teléfonos

Los defectos pueden ser de diferentes tipos y se cuenta el total de todos estos defectos en la unidad inspeccionada. Obtenemos un resultado que es el Número de Defectos por unidad de inspección.

A medida que el proceso genera las unidades (Teléfonos móviles), retiramos una unidad a intervalos regulares y contamos el número total de defectos. En cada unidad podemos encontrar n defectos
control de defectos en los teléfonos
  • 1 defecto


  • 2 defectos


  • ...


  • n defectos

Los resultados obtenidos al contar el Número de Defectos en unidades de inspección tomadas a intervalos regulares constituyen una variable aleatoria discreta, porque puede tomar los valores discretos 0, 1, 2, ... n. Esta variable aleatoria tiene una distribución de Poisson:
    \( \displaystyle P(x) = \frac{e^{- c}c^x}{x!} \quad con \; x = 0,1,2, , n \qquad (\ast)\)
Los gráficos C se utilizan para controlar el número de defectos en una muestra del producto o unidad de inspección. Para controlar este proceso, un inspector se coloca al final de la línea de producción y cada cierto intervalo retira una unidad de inspección , verifica y anota el número total de defectos.

Este resultado se anota en un gráfico denominado gráfico C. De acuerdo a la Distribución de Poisson, si denominamos C al parámetro de la función de distribución, el promedio de la población es C y la varianza también es C.

Una unidad defectuosa puede tener uno o más defectos. Sin embargo, es posible que una unidad de producto tenga varios defectos y que no sea clasificada como defectuosa debido a la naturaleza poco importante del defecto. Existen en la práctica muchas situaciones en las que es preferible trabajar con el número de defectos que con el porcentaje o el número de unidades defectuosas. Por ejemplo, el número de soldaduras defectuosas en un tubo de conducción de gas, el número de defectos funcionales es un dispositivo electrónico, etc.

Se pueden efectuar gráficos de control para el número total de defectos por unidad de producto o para el número de defectos en la muestra. Estos gráficos de control se basan en la distribución de Poísson que exige un número de puntos donde potencialmente podría producirse el defecto infinitamente grande, así como que la probabilidad de que el defecto aparezca en un determinado punto sea muy pequeña y constante.

La unidad de inspección debe ser la misma en cada muestra. Es decir cada unidad de inspección debe representar siempre una probabilidad igual de que se produzcan los defectos. En la mayor parte de las situaciones prácticas, estas condiciones no se satisfacen exactamente. El número de oportunidades (puntos) para los defectos suele ser finito y la probabilidad de aparición de defectos puede no ser constante. Si las desviaciones respecto de la situación ideal no son importantes, puede usarse el modelo de Poisson. Existen, sin embargo, casos en los que las desviaciones respecto de las condiciones del modelo son considerables y en los que la utilización de la distribución de Poisson es inadecuada.

Gráficos “c” para tamaño de muestra constante

En el gráfico ‘c’ se representan el número de defectos existentes en cada unidad de inspección. En la mayor parte de los casos, la unidad de inspección será una unidad de producto aunque esto no es absolutamente necesario ya que la unidad de inspección constituye simplemente una porción de producción sobre la que es conveniente registrar el número de defectos encontrados. Puede ser un grupo de 1,5 6 10 unidades de producto. Supongamos que los defectos tienen lugar en esta unidad de inspección de acuerdo con la distribución de Poisson dada en \( (\ast) \), donde x es el número de defectos en la unidad de inspección y C es el parámetro de la distribución, Sabemos que la media y la varianza de la distribución de Poisson son ambas iguales a C. En consecuencia, los límites de control 3 sigma para el número de defectos serán:
    \( LCS = c + 3 \sqrt{c} \quad ; \quad LC = c \quad ; \quad LCI = c - 3 \sqrt{c}\)
Hay que tener en cuenta que la probabilidad de producir una falsa alarma por situarse el punto por encima del límite de control superior es diferente que la de situarse por debajo del límite inferior (colas superior e inferior diferentes). Si no se conoce el parámetro c, debe estimarse a partir de una muestra preliminar de unidades de inspección. El valor obtenido en la estimación, O sustituirá al valor O en los límites arriba indicados.

Análisis de defectos

Los datos sobre defectos aportan siempre mayor información que los relativos a unidades defectuosas ya que habitualmente existen diversos tipos de defectos.

Al analizar por conteo la frecuencia de cada tipo de defecto observamos que, en muchas ocasiones, los resultados están acordes con la distribución de PARETO y que un pequeño número de defectos es causa de la mayor parte de los problemas. Si somos capaces de eliminar las causas de unos pocos tipos de defectos, habremos conseguido una drástica mejora en la calidad.

Gráfico “u”

Supongamos que se está controlando el número de defectos en un proceso de ensamblado de licuadoras y se define una unidad de inspección de 5 licuadoras. En este caso es posible trabajar con un gráfico C, como ya hemos visto. Pero tal vez se desea controlar el promedio de defectos por cada licuadora (unidad de producción) en lugar del total de defectos para las 5 licuadoras (unidad de inspección):
    \( \displaystyle x_i = \frac{n_i}{m} \)
siendo ni la cantidad de Defectos por Unidad de Inspección y m el número de Unidades de Producción en la Unidad de Inspección.

En nuestro ejemplo, si encontramos ni defectos en la unidad de inspección (5 licuadoras), la cantidad promedio de defectos por licuadora será \( x_i = n_i/5 \).

Se debe tener en cuenta que x es una nueva variable aleatoria discreta que toma valores 0, 1/m, 2/m, …etc., y cuya distribución de probabilidades se puede calcular a partir de la Distribución de Poisson.

Como en el caso de los gráficos C, en una primera etapa se toman N unidades de inspección (más de 25 ó 30) a intervalos regulares. Se cuenta en cada unidad de inspección el Número de Defectos y se registra. Luego se divide el Número de Defectos de cada unidad de inspección por m (Número de unidades de producción en cada unidad de inspección).

En nuestro ejemplo (m = 5) la Tabla quedaría así:
    \( \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \textrm{Unidad de inspeccion} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & - \\ \hline \textrm{N defectos} & 5 & 8 & 6 & 10 & 5 & 15 & 12 & 5 & - \\ \hline \textrm{Def por unidad} & 1,0 & 1,6 & 1,2 & 2,0 & 1,0 & 3,0 & 2,4 & 1,0 & - \\ \hline \hline \end{array} \)
Entonces, a partir de la tabla podemos calcular el parámetro U, como promedio del Número de Defectos por licuadora, y la Desviación Standard:
    \( \displaystyle U = \frac{\sum n_i/m}{N} \qquad ; \qquad s = \sqrt{\frac{U}{m}}\)
siendo : ni la cantidad de Defectos por Unidad de Inspección, m el Número de Unidades de Producción en la Unidad de Inspección y N el Número de Unidades de Inspección

Con esto podemos calcular los Límites de Control para el gráfico U:
    \( \displaystyle LSC = C + 3\sqrt{\frac{U}{m}} \quad ; \quad LC = U \quad ; \quad LIC = C - 3 \sqrt{\frac{U}{m}}\)
gráfico de curvas ARL



DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Probabilidad de r o menos sucesos en n intentos, donde p es la ocurrencia de cada intento.

tabla de datos

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tema escrito por: José Antonio Hervás