CAPÍTULO 9.- GRAFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS
Introducción
Algunas características de calidad no pueden ser representadas
convenientemente por medio de variables cuantitativas. En estos
casos, las unidades de producto se clasifican en “conformes”
o en “no conformes” según la característica
o características cualitativas sean o no conformes con
las especificaciones. Las características de calidad
de este tipo se denominan atributos. Los datos de tipo atributo
tienen solamente dos valores: Conforme / no conforme, pasa/no
pasa, funciona / no funciona, presente / ausente. También
se consideran atributos aquellas características cuantitativas
que se registran en términos de sino como por ejemplo,
el diámetro de un eje cuya conformidad solo la medimos
en términos de aceptable/no aceptable, las imperfecciones
de pintura en una puerta de un automóvil, las burbujas
en la laca de un detonador, la presencia/ausencia de un percutor,
etc.
Vamos a analizar cuatro tipos de gráficos de control
por atributos:
Gráfico “p” para porcentajes defectuosos
Gráfico “np” para el número de unidades
defectuosas
Gráfico “c” para el número de defectos
Gráfico “u” para el número de defectos
por unidad inspeccionada
Gráfico “p” para porcentajes defectuosos
La fracción no conforme de un colectivo se define como
el cociente entre el número de unidades defectuosas y
el número total de unidades en dicho colectivo. Cada
unidad de producto puede ser examinada por el inspector respecto
de una o varias características cualitativas. Si la unidad
inspeccionada no es conforme respecto a la especificación
en una o más características, se clasifica como
no conforme. Habitualmente, la fracción no conforme se
expresa en forma decimal aunque puede también indicarse
en tanto por ciento.
La distribución binomial es la base estadística
del gráfico de control por atributos. Supondremos que
el proceso está operando de forma estable y que la posibilidad
de que una unidad de producto sea defectuosa es constante y
de valor p. También, supondremos que las unidades producidas
sucesivamente son independientes. Entonces, si tomamos una muestra
de n unidades, y llamamos x al número de unidades no
conformes, la probabilidad de que x tome los valores 0, 1, 2....
n vendrá determinada por la distribución binomial
con parámetros n, p:
El valor medio y la varianza de esta distribución son
:
La fracción muestral no conforme se define como el cociente
entre el número de unidades no conformes en la muestra
x y el tamaño de la misma p = x/n.
El valor medio y la varianza de p serán respectivamente
:
como consecuencia de la relación p = x/n
Operativa del gráfico de control “p”
La base estadística para definir los límites de
control es común con los restantes gráficos de
Shewhart: Si W es un estadístico que describe una determinada
característica de calidad siendo
mw
y sw2
su media y su varianza, los límites de control
se definen como :
K es la distancia de los límites de control a la línea
central expresada como un múltiplo de sw.
Habitualmente escogeremos K = 3.
Supongamos que conocemos o se especifica la fracción
p no conforme de un proceso de producción. Entonces los
limites de control resultan:
La operativa
consiste en tomar sucesivas muestras de n unidades, contar dentro
de cada muestra el número de unidades no conformes y
calcular  =
D/n llevando este valor al gráfico. En tanto permanezca
dentro de los límites de control y la secuencia de puntos
no señale ninguna pauta distinta a la que puede surgir
por mero azar, diremos que el proceso está bajo control
al nivel p de fracción no conforme. Si por el contrario,
observamos algún punto fuera de control o un patrón
inusual diremos que la fracción defectuosa ha cambiado
a un nivel diferente y que el proceso está fuera de control.
Cuando se desconoce p, debe estimarse a partir de los datos.
El procedimiento a seguir es seleccionar m muestras preliminares,
cada una de tamaño n. Como norma general, m estará
comprendido entre 20 y 25. Si Di es el número
de unidades defectuosas en la muestra i, calcularemos la fracción
defectuosa en la muestra como  ;
i = 1, 2... .n y la media de estas fracciones,  ,
estimará la media p del proceso siendo los límites
de control:
Frecuentemente
se utiliza solo el límite superior.
Estos límites de control se consideran como limites de
prueba y sirven para determinar si el proceso estaba bajo control
cuando las m muestras iniciales fueron seleccionadas. Si todos
los puntos caen dentro de los límites de control y no
se observa ninguna pauta anormal dictaminaremos que el proceso
estaba bajo control a la toma de las m muestras y los límites
de prueba serán validos para controlar la producción
actual y la futura.
Los límites de control para la producción actual
deben basarse en datos obtenidos de una situación estable.
Por ello, cuando alguno de los puntos iniciales está
fuera de control se hace necesario revisar los límites
de control. Esto se realiza examinando cada punto fuera de control
y buscando las causas asignables. Si se localiza la causa asignable
se descarta el punto correspondiente y se vuelven a calcular
los límites de control con los puntos restantes. Puede
darse el caso que alguno de estos restantes puntos se encuentre
ahora fuera de control respecto de los nuevos límites
ya que estos serán, normalmente, más estrechos
que los iniciales. Entonces, deben repetirse los pasos dados
anteriormente hasta que todos los puntos se encuentren dentro
de control con lo que ya podremos adoptar los límites
hasta entonces provisionales como límites definitivos.
Si el gráfico de control se basa en un valor estandar
conocido (un objetivo) para la fracción no conforme p,
entonces el cálculo de límites de prueba es, generalmente,
innecesario aunque deben tomarse ciertas precauciones en el
sentido de comprobar si el proceso está bajo control
a un valor de p diferente dei indicado en el objetivo. Por ejemplo,
supongamos que la Dirección señala como valor
objetivo p = 0,01 pero que el proceso se encuentra realmente
bajo control a p = 0,05.
Utilizando el gráfico correspondiente a p = 0,01 encontraremos
muchos puntos fuera de control sin que aparezca causa asignable.
No obstante, suele ser útil esta opción para mejorar
el nivel de calidad llevando el proceso al nivel adecuado, sobre
todo en procesos donde la fracción no conforme puede
ser controlada mediante un proceso sencillo de ajuste.
Diseño del gráfico p
El gráfico p tiene tres parámetros a especificar:
Tamaño y frecuencia del desmuestre y distancia entre
límites de control.
Es frecuente calcular el gráfico de control a partir
de la inspección realizada a lo largo de un periodo de
tiempo determinado. Un día, un turno, etc. En este caso,
la frecuencia y el tamaño de la muestra están
relacionados. Generalmente, se selecciona inicialmente la frecuencia
del desmuestre apropiada para la producción a inspeccionar
y de ahí resulta el tamaño de la muestra,
Los subgrupos racionales pueden jugar también un papel
importante en determinar la frecuencia del desmuestre. Por ejemplo,
si hay tres turnos y sospechamos que entre turnos puede variar
el nivel de calidad utilizaremos cada turno como un subgrupo
sin mezclarlos para obtener una fracción diaria no conforme.
Si p es pequeño n deberá ser suficientemente grande
para encontrar, al menos una unidad defectuosa en la muestra.
Se ha sugerido que el tamaño de muestra debe ser lo bastante
grande para tener una probabilidad de aprox. 50% de detectar
un cambio de una determinada magnitud. Por ejemplo, supongamos
que p = 0,01 y que queremos que la probabilidad de detectar
un cambio a p = 0,05 sea del 50%. Suponiendo que aproximamos
la distribución binomial respecto de la normal, escogeremos
de tal forma que el límite de Control Superior coincide
con la fracción no conforme en la situación de
fuera de control. Si 6 es la magnitud del cambio del proceso,
entonces n debe satisfacer
En nuestro
ejemplo, p = 0,01, d
= 0,05-0,01 = 0,04 y con K=3 
n = 56
Los límites 3s
son los que se usan con más frecuencia aunque pueden
adaptarse otros más sensibles a costa de exponerse a
situaciones más frecuentes de falsa alarma.
A veces, suelen usarse limites más estrechos (por ejemplo
2s) dentro
de una situación de urgencia para mejorar la calidad
de un proceso. Estos límites deben utilizarse con precaución
porque las falsas alarmas destruyen la confianza de los operadores
en los gráficos de control.
Hay que tener en cuenta que los límites de control estudiados
se basan en la distribución binomial que considera constante
la proporción defectuosa “p’ y que los valores
sucesivos son independientes. En procesos en los que las unidades
no conformes están agrupadas o en los que la probabilidad
de producir una unidad defectuosa depende de que la anterior
unidad producida haya sido no defectuosa, no son aplicables
este tipo de gráficos.
Deben examinarse con cuidado aquellos puntos situados por debajo
del límite de control inferior. Estos puntos no suelen
ser lo que aparentemente indican: Una mejora en la calidad del
proceso por disminución de a sino que suelen originarse
por errores en la inspección o por causa de aparatos
de medida mal calibrados. También puede deberse a que
los operadores hayan registrado datos ficticios para cubrir
su responsabilidad.
Gráfico np para unidades
defectuosas
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