CONTROL DE
CALIDAD

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CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

 

CAPÍTULO 9.- GRAFICOS DE CONTROL POR ATRIBUTOS

Introducción


Algunas características de calidad no pueden ser representadas convenientemente por medio de variables cuantitativas. En estos casos, las unidades de producto se clasifican en “conformes” o en “no conformes” según la característica o características cualitativas sean o no conformes con las especificaciones. Las características de calidad de este tipo se denominan atributos. Los datos de tipo atributo tienen solamente dos valores: Conforme / no conforme, pasa / no pasa, funciona / no funciona, presente / ausente. También se consideran atributos aquellas características cuantitativas que se registran en términos de sino como por ejemplo, el diámetro de un eje cuya conformidad solo la medimos en términos de aceptable/no aceptable, las imperfecciones de pintura en una puerta de un automóvil, las burbujas en la laca de un detonador, la presencia/ausencia de un percutor, etc.

Vamos a analizar cuatro tipos de gráficos de control por atributos:
    Gráfico “p” para porcentajes defectuosos

    Gráfico “np” para el número de unidades defectuosas

    Gráfico “c” para el número de defectos

    Gráfico “u” para el número de defectos por unidad inspeccionada
Gráfico “p” para porcentajes defectuosos

La fracción no conforme de un colectivo se define como el cociente entre el número de unidades defectuosas y el número total de unidades en dicho colectivo. Cada unidad de producto puede ser examinada por el inspector respecto de una o varias características cualitativas. Si la unidad inspeccionada no es conforme respecto a la especificación en una o más características, se clasifica como no conforme. Habitualmente, la fracción no conforme se expresa en forma decimal aunque puede también indicarse en tanto por ciento.

La distribución binomial es la base estadística del gráfico de control por atributos. Supondremos que el proceso está operando de forma estable y que la posibilidad de que una unidad de producto sea defectuosa es constante y de valor p. También, supondremos que las unidades producidas sucesivamente son independientes. Entonces, si tomamos una muestra de n unidades, y llamamos x al número de unidades no conformes, la probabilidad de que x tome los valores 0, 1, 2.... n vendrá determinada por la distribución binomial con parámetros n, p:
    \( \displaystyle P(x) = \left( \begin{array}{c} n \\ \\ x \\ \end{array} \right) p^x \left (1 - p\right)^{n-x} \quad ; \quad x = 0,1,2, , n \)
El valor medio y la varianza de esta distribución son :
    \( \mu_x = np \quad ; \quad \sigma_x^2 = np(1-p) \)
La fracción muestral no conforme se define como el cociente entre el número de unidades no conformes en la muestra x y el tamaño de la misma p = x/n.

El valor medio y la varianza de p serán respectivamente :
    \( \displaystyle \mu_p = p \quad ; \quad \sigma_p^2 = \frac{p(1-p)}{n} \)
como consecuencia de la relación p = x/n

Operativa del gráfico de control “p”

La base estadística para definir los límites de control es común con los restantes gráficos de Shewhart: Si W es un estadístico que describe una determinada característica de calidad siendo μw y σw² su media y su varianza, los límites de control se definen como :
    \( LCS = \mu_w + K\sigma_w \quad ; \quad LC = \mu_w \quad ; \quad LCI = \mu_w - K\sigma_w \)
K es la distancia de los límites de control a la línea central expresada como un múltiplo de sw. Habitualmente escogeremos K = 3.

Supongamos que conocemos o se especifica la fracción p no conforme de un proceso de producción. Entonces los limites de control resultan:
    \( \displaystyle LCS = p + 3\frac{\sqrt{p(1-p)}}{n} \quad ; \quad LC = p \quad ; \quad LCI = p - 3\frac{\sqrt{p(1-p)}}{n} \)
La operativa consiste en tomar sucesivas muestras de n unidades, contar dentro de cada muestra el número de unidades no conformes y calcular \(\hat{p} = D/n \) llevando este valor al gráfico. En tanto \(\hat{p} \) permanezca dentro de los límites de control y la secuencia de puntos no señale ninguna pauta distinta a la que puede surgir por mero azar, diremos que el proceso está bajo control al nivel p de fracción no conforme. Si por el contrario, observamos algún punto fuera de control o un patrón inusual diremos que la fracción defectuosa ha cambiado a un nivel diferente y que el proceso está fuera de control.

Cuando se desconoce p, debe estimarse a partir de los datos. El procedimiento a seguir es seleccionar m muestras preliminares, cada una de tamaño n. Como norma general, m estará comprendido entre 20 y 25. Si Di es el número de unidades defectuosas en la muestra i, calcularemos la fracción defectuosa en la muestra como \(\hat{p}_i = D_i/n ; \; i = 1,2, , n \) ; i = 1, 2... .n y la media de estas fracciones, \(\bar{p} = \sum D_i/m·n \) , estimará la media p del proceso siendo los límites de control:
    \( \displaystyle LCS = \bar{p} + 3\frac{\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})}}{n} \quad ; \quad LC = \bar{p} \quad ; \quad LCI = \bar{p} + 3\frac{\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})}}{n} \)
Frecuentemente se utiliza solo el límite superior.

Estos límites de control se consideran como limites de prueba y sirven para determinar si el proceso estaba bajo control cuando las m muestras iniciales fueron seleccionadas. Si todos los puntos caen dentro de los límites de control y no se observa ninguna pauta anormal dictaminaremos que el proceso estaba bajo control a la toma de las m muestras y los límites de prueba serán validos para controlar la producción actual y la futura.

Los límites de control para la producción actual deben basarse en datos obtenidos de una situación estable. Por ello, cuando alguno de los puntos iniciales está fuera de control se hace necesario revisar los límites de control. Esto se realiza examinando cada punto fuera de control y buscando las causas asignables. Si se localiza la causa asignable se descarta el punto correspondiente y se vuelven a calcular los límites de control con los puntos restantes. Puede darse el caso que alguno de estos restantes puntos se encuentre ahora fuera de control respecto de los nuevos límites ya que estos serán, normalmente, más estrechos que los iniciales. Entonces, deben repetirse los pasos dados anteriormente hasta que todos los puntos se encuentren dentro de control con lo que ya podremos adoptar los límites hasta entonces provisionales como límites definitivos.

Si el gráfico de control se basa en un valor estandar conocido (un objetivo) para la fracción no conforme p, entonces el cálculo de límites de prueba es, generalmente, innecesario aunque deben tomarse ciertas precauciones en el sentido de comprobar si el proceso está bajo control a un valor de p diferente dei indicado en el objetivo. Por ejemplo, supongamos que la Dirección señala como valor objetivo p = 0,01 pero que el proceso se encuentra realmente bajo control a p = 0,05.

Utilizando el gráfico correspondiente a p = 0,01 encontraremos muchos puntos fuera de control sin que aparezca causa asignable. No obstante, suele ser útil esta opción para mejorar el nivel de calidad llevando el proceso al nivel adecuado, sobre todo en procesos donde la fracción no conforme puede ser controlada mediante un proceso sencillo de ajuste.

Diseño del gráfico p

El gráfico p tiene tres parámetros a especificar: Tamaño y frecuencia del desmuestre y distancia entre límites de control.

Es frecuente calcular el gráfico de control a partir de la inspección realizada a lo largo de un periodo de tiempo determinado. Un día, un turno, etc. En este caso, la frecuencia y el tamaño de la muestra están relacionados. Generalmente, se selecciona inicialmente la frecuencia del desmuestre apropiada para la producción a inspeccionar y de ahí resulta el tamaño de la muestra,

Los subgrupos racionales pueden jugar también un papel importante en determinar la frecuencia del desmuestre. Por ejemplo, si hay tres turnos y sospechamos que entre turnos puede variar el nivel de calidad utilizaremos cada turno como un subgrupo sin mezclarlos para obtener una fracción diaria no conforme. Si p es pequeño n deberá ser suficientemente grande para encontrar, al menos una unidad defectuosa en la muestra.

Se ha sugerido que el tamaño de muestra debe ser lo bastante grande para tener una probabilidad de aprox. 50% de detectar un cambio de una determinada magnitud. Por ejemplo, supongamos que p = 0,01 y que queremos que la probabilidad de detectar un cambio a p = 0,05 sea del 50%. Suponiendo que aproximamos la distribución binomial respecto de la normal, escogeremos de tal forma que el límite de Control Superior coincide con la fracción no conforme en la situación de fuera de control. Si 6 es la magnitud del cambio del proceso, entonces n debe satisfacer
    \( \displaystyle \delta = K\frac{\sqrt{p(1-p)}}{n} \rightarrow n = \left(\frac{K}{\delta}\right)^2 p(1-p) \)
En nuestro ejemplo, p = 0,01, δ = 0,05-0,01 = 0,04 y con K=3 → n = 56

Los límites 3σ son los que se usan con más frecuencia aunque pueden adaptarse otros más sensibles a costa de exponerse a situaciones más frecuentes de falsa alarma.

A veces, suelen usarse limites más estrechos (por ejemplo 2σ) dentro de una situación de urgencia para mejorar la calidad de un proceso. Estos límites deben utilizarse con precaución porque las falsas alarmas destruyen la confianza de los operadores en los gráficos de control.

Hay que tener en cuenta que los límites de control estudiados se basan en la distribución binomial que considera constante la proporción defectuosa “p’ y que los valores sucesivos son independientes. En procesos en los que las unidades no conformes están agrupadas o en los que la probabilidad de producir una unidad defectuosa depende de que la anterior unidad producida haya sido no defectuosa, no son aplicables este tipo de gráficos.

Deben examinarse con cuidado aquellos puntos situados por debajo del límite de control inferior. Estos puntos no suelen ser lo que aparentemente indican: Una mejora en la calidad del proceso por disminución de a sino que suelen originarse por errores en la inspección o por causa de aparatos de medida mal calibrados. También puede deberse a que los operadores hayan registrado datos ficticios para cubrir su responsabilidad.

Gráfico np para unidades defectuosas

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tema escrito por: José Antonio Hervás