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CONTROL DE
CALIDAD

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CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

 

CAPÍTULO 7.- GRAFICOS DE CONTROL POR VARIABLES

Gráfico basado en estudio inicial

A.- Gráfico de la media

B.- Gráfico del recorrido

Gráficos basados en valores standar

Gráficos de control para valores individuales

Líneas generales para el diseño del grafico \(\overline{X}\) ,R

Eficacia de los gráficos \(\overline{X}\) ,R

Gráficos de control de sumas acumuladas (CUSUM)

Otros gráficos de control.- Gráfico de control de media móvil

Los gráficos de control de media móvil son también muy efectivos para detectar pequeños cambios en el proceso, Como los CUSUM, estos gráficos son muy adecuados para implantar en procesos automatizados.

Supongamos que se han tomado muestras de tamaño n y que \( \overline{X}_1, \overline{X}_2, \; , \overline{X}_t\) indiquen las correspondientes medias muestrales. La media móvil de amplitud W en el momento t se define como
    \( \displaystyle M_t = \frac{ \overline{X}_t + \overline{X}_{t-1} + + \overline{X}_{t-W+1}}{W}\)
Es decir, en cada momento t se elimina la muestra vieja y se sustituye por la más reciente.

La varianza de Mt, es :
    \( \displaystyle V(M_t) = \frac{1}{W^2}\sum \limits _{i = t-W+1}^{i=t} V \Big( \overline{X}_i \Big) = \frac{1}{W^2}\sum \limits _{i = t-W+1}^{i=t} \frac{\sigma ^2}{n} = \frac{W \sigma^2}{W^2n} = \frac{a^2}{Wn} \)
Y los límites de control con criterio “3σ” serán:
    \( \displaystyle LCS = \overline{\overline{X}} + 3\frac{\sigma}{\sqrt{nW}} \quad ; \quad LC = \overline{\overline{X}} \quad ; \quad LCI = \overline{\overline{X}} - 3\frac{\sigma}{\sqrt{nW}} \)
El procedimiento de control consistirá en calcular con cada nuevo valor de \( \overline{X}_t \) la nueva Mt y llevarla al gráfico con límites de control dados por (II) concluyendo que el proceso está fuera de control si se exceden los puntos del gráfico. En general, la magnitud del cambio a detectar y la amplitud de W están inversamente relacionados: La detección de un cambio pequeño se garantiza mejor con una muestra de tamaño elevado.

El uso simultaneo de \( \overline{X}_t \) y Mt puede dar buenos resultados. En este caso, habrá situación de fuera de control cuando \( \overline{X}_t \) , Mt , o ambos caigan fuera de los límites de control respectivos. La media móvil es también muy adecuada para usar cuando el tamaño de muestra es n = 1.

Gráficos de Control Multidimensional

Existen muchas situaciones en las que es necesario el control simultáneo de dos o más características de calidad. Por ejemplo supongamos una pieza con un diámetro interior y otro exterior que juntos determinen la conformidad de la pieza. Podríamos aplicar los gráficos de control habituales a las características y considerar que el proceso está bajo control solamente cuando ambas medias \( \overline{X}_1 \; y \; \overline{X}_2\) estuvieran dentro de los respectivos límites de control, esto es equivalente a que el punto \( \left(\overline{X}_1 \; , \; \overline{X}_2\right) \) caiga dentro del área rayada en la figura.

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Controlar ambas características independientemente puede ser engañoso. La probabilidad de que \( \overline{X}_1 \; o \; \overline{X}_2 \) excedan sus límites de control “3σ” es 0,0027, sin embargo la probabilidad de que ambas variables excedan los limites cuando el proceso está bajo control es (0,0027)x(0,0027) = 0,00000729 que es muy inferior a 0,0027. Es decir, el error de tipo I es muy diferente de los de los gráficos individuales. Esta distorsión se incrementa cuando aumenta el número de variables.

Si existen P características independientes y se elabora un gráfico X para cada una con error de tipo I = α, el error de tipo I conjunto es σ’ = 1- (1- α)p y la probabilidad de que las P medias caigan dentro de sus respectivos límites (1- α)p. El problema se complica más todavía si existe correlación entre las diferentes características (caso frecuente). Problemas como estos constituyen el llamado control de calidad multidimensional y fueron estudiados inicialmente por Hotelling .

Supongamos que existen dos característica cualitativas X1 y X2 que se distribuyen de acuerdo con una distribución normal bivariada siendo X1 y X2 sus valores nominales, S1² y S2² sus varianzas y S12 su covarianza (la covarianza mide el grado de dependencia entre X1 y X2). Si \( \left(\overline{X}_1 \; , \; \overline{X}_2\right) \) es la media muestral calculada para un subgrupo de tamaño n, el estadístico :
    \( T^2 = \displaystyle \frac{n\left[S_1^2 \left(X_1 - \overline{X}_1\right)^2 + S_2^2 \left(X_2 - \overline{X}_2\right)^2 - 2S_{12}\left(X_1 - \overline{X}_1\right) \left(X_2 - \overline{X}_2\right) \right]}{S_1^2 S_2^2 - S_{12}^2} \)
se distribuye según una distribución T² de Hotelling con 2 y (n-1) grados de libertad.

Si \( T^2 > T_{\alpha/2,n-1}^2\) al menos de una de las dos características está fuera de control.

\( T_{\alpha/2,n-1}^2\) T²α/2, n-1 es el percentil de la distribución de Hotelling que deja una cola a la derecha de valor α.

Representando en secuencia los valores resultantes de la ecuación anterior para cada muestra, como si se tratase de un gráfico de control, podemos investigar pautas y otras tendencias no aleatorias del gráfico.


graficos de control

La mayoría de los paquetes de software de control de Calidad actuales permiten analizar estos gráficos multidimensionales referidos a dos ó más variables.

Tablas para la elaboración de gráficos de control

MANUAL DE CALIDAD - CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

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tema escrito por: José Antonio Hervás