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CONTROL DE
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CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

 

CAPÍTULO 7.- GRAFICOS DE CONTROL POR VARIABLES

Gráfico basado en estudio inicial

A.- Gráfico de la media

B.- Gráfico del recorrido

Gráficos basados en valores standar

Gráficos de control para valores individuales

Líneas generales para el diseño del grafico \(\overline{X}\) ,R

Eficacia de los gráficos \(\overline{X}\) ,R

Gráficos de control de sumas acumuladas (CUSUM)


Los gráficos de control que hemos visto hasta ahora se conocen como gráficos de Shewhart. Un punto débil de los gráficos de Shewhart es que solo se utiliza la información contenida en la última muestra representada e ignora la información dada por el conjunto de muestras. Es cierto que la incorporación de límites de atención y el estudio de pautas trata de mejorar la sensibilidad del gráfico Shewhart utilizando más el conjunto de la información pero a costa de complicar algo el gráfico reduciendo la sencillez de la Interpretación

El gráfico de sumas acumuladas (CUSUM) se presenta como una alternativa al grafico de Shewhart. Incorpora directamente toda la información representando las sumas acumuladas de las desviaciones de los valores muestrales respecto de un valor objetivo. Por ejemplo, supongamos que se toman muestras de tamaño igual o mayor que 1, siendo \( \overline{X}_i \) la media muestral de la muestra i.

Si suponemos que μo es el objetivo para la media del proceso, el gráfico de sumas acumuladas se formará representando la cantidad \( S_m = \sum \Big(\overline{X}_i - \mu_0 \Big )\) respecto al número de orden (m) de la muestra.

Por combinar la información de varias muestras, los gráficos de sumas acumuladas son más efectivos que los gráficos de Shewhart para detectar pequeños cambios. Son particularmente eficaces cuando el tamaño de muestra es n = 1 y, por consiguiente, adecuados para su utilización cuando la tecnología permite inspeccionar y medir cada unidad producida usando a la vez un microordenador en el puesto de trabajo.

Si el proceso se mantiene bajo control en el objetivo μo , la suma acumulable \( S_m = \sum \Big(\overline{X}_i - \mu_0 \Big )\) variará aleatoriamente respecto del valor cero. Sin embargo, si la media asciende a μ1 > μo se apreciará una tendencia ascendente en la suma acumulada Sm. Por el contrario, si la media se desplaza a μ2 < μo se apreciara una tendencia decreciente en Sm. Por consiguiente, una tendencia determinada (positiva o negativa) se considerará como una evidencia de que la media del proceso se ha desplazado debido a la presencia de alguna causa asignable que hay que investigar y eliminar.

Existen dos criterios para establecer formalmente que el proceso está fuera de control. Uno de ellos es un procedimiento gráfico: La máscara V propuesta por Barnhard en 1959 y otro es un procedimiento numérico muy adecuado para establecer en conjunción con un microordenador. Aquí veremos este segundo procedimiento.

En cada toma de muestra hay que calcular los 2 valores siguientes :
    \( S_i = \sum \limits_{i=1}^l [\overline{X}_i - (\mu_0 + F)] \quad ; \quad T_i = \sum \limits_{i=1}^l [\overline{X}_i - (\mu_0 - F)] \)
donde:
    \( \overline {X}\) es la media muestral en la toma i-ésima.
    μo es el valor objetivo (media centrada)
    F es un parámetro de la carta de control que normalmente vale δo/2 siendo δo el cambio que queremos detectar con prontitud.
\( F = f \sigma_{\overline{X}} = (f/\sqrt{n}) \sigma\), siendo normalmente f = 0,5 ya que queremos detectar normalmente cambios del orden de \( \sigma_{\overline{X}}\) (n es el tamaño muestral).Como veremos más adelante, F se puede seleccionar también en algún juego de cartas ARL.

Cuando algún valor Si ó Ti cumple que Si > H ó Ti < -H (H elegido de acuerdo a la curva ARL que nos interese \(H = h \sigma_{\overline{X}}\) siendo h normalmente 5) el proceso se considera fuera de control. Si Si se hace negativo o se pone a 0, de igual forma si Ti se hace positivo o se pone a 0.

Una vez corregido el proceso los contadores Si y Ti se pondrían a 0.

Las curvas ARL de los gráficos CUSUM, se calculan a partir de los parámetros del grafico, h y f (y del tamaño de la muestra, que está implícito en el desplazamiento) utilizando cadenas de Markov.

En la tabla 2.3 se dan valores de h y f más comunes en función del desplazamiento de la media a detectar y sus curvas ARL.

Ejemplo CUSUM

Consideremos que el peso de cartuchos de cierta fabricación sigue siendo una distribución Normal (ver ejemplo anterior) de media 1,3917 y desviación típica 0,005. Valores que resultaban cuando el proceso estaba bajo control.
    \( \displaystyle \sigma_4 \frac{\overline{R}_4}{d_2} = 0,005 \)
Si utilizamos las muestras de tamaño 5 del ejemplo anterior y queremos detectar desplazamientos de la medía del orden de \( \sigma_{\overline{X}} = 0,0005 / \sqrt{5} = 0,0022 \), elejimos h = 5 y f = 0,5 con lo que obtenemos
    F = 0,5 x 0,0022 = 0,0011 ; H = 5 x 0,0022 = 0,01
\( \scriptstyle \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline & & LIM \;SUP& (S_f < H) & LIM\; INF & (T_f < H) \\ \hline Secuencia \; t & X_t & X_t - 1,3928 & S_t = \sum (X_t - 1,3928) & X_t - 1,3906 & T_t = \sum /(X_t - 1,3906) \\ \hline 1 & 1,3948 & + 0,0020 & 0,0020 & + 0,0042 & > \\ \hline 2 & 1,3874 & - 0,0054 & < 0 & - 0,0032 & - 0,0032 \\ \hline 3 & 1,3963 & + 0,0035 & 0,0035 & + 0,0057 & > 0 \\ \hline 4 & 1,3912 & - 0,0016 & 0,0019 & + 0,0006 & > 0 \\ \hline 5 & 1,3946 & + 0,0018 & 0,0037 & + 0,0004 & > 0 \\ \hline 6 & 1,3800 & - 0,0128 & < 0 & - 0,0106 & - 0,0106 \\ \hline \hline \end{array} \)

En el sexto subgrupo \(T_i < - 0,01 \) por lo tanto es un punto fuera de control y deberíamos corregir el proceso.

sumas acumuladas

Para controlar la variabilidad dentro de las muestras se pueden utilizar los gráficos de Shewart del recorrido o de la desviación típica, en conjunción con el CUSUM de medias.

No obstante también es posible diseñar una carta de control CUSUM específicamente por los gráficos de recorridos o de desviaciones típicas. La forma de realizarlos es muy similar al CUSUM de medias. Los parámetros h y f con sus curvas ARL del CUSUM para recorridos o desviaciones típicas están recogidos en la norma británica BS 5703.
    \( C_i = \sum \limits _{i=1}^i(R_i - F) \textrm{ donde } F = f \overline{R}_T\)

TABLA 2.3

Valores de h y f recomendados para detectar un desplazamiento de la media de magnitud \( \sigma / \sqrt{n}\) (*)





curva característica

curva característica


Otros gráficos de control.- Gráfico de control de media móvil

Tablas para la elaboración de gráficos de control

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tema escrito por: José Antonio Hervás