CAPÍTULO 7.- GRAFICOS DE CONTROL POR VARIABLES

Gráfico basado en estudio inicial

A .- Gráfico de la media

B.- Gráfico del recorrido

Gráficos basados en valores standar

Gráficos de control para valores individuales

Líneas generales para el diseño del grafico X ,R

Eficacia de los gráficos X ,R

La eficacia de estos gráficos se describe a través de las curvas ARL (Longitud de racha media) y curva característica.

A) calculo de las curvas características y ARL del gráfico - Curva característica Suponemos la desviación típica conocida y constante. Si la medía cambia desde el valor objetivo μo hasta otro valor μ1 = μo + K. σ ,la probabilidad de no detectar el cambio en la primera muestra que se tome será:

con :



por lo cual :







Normalmente se elige α = 0,0027 (Error tipo I) Z _α/2 = 3. Esta curva (Probabilidad de que el siguiente punto caiga dentro de los límites de control en función del Descentrado del proceso) viene representada (con α = 0,0027), para distintos tamaños de muestra (n) en la figura C.



Curva ARL

La probabilidad de no detectar el cambio en la 1ª muestra es 1- β. La de no detectarlo en la 2ª es β (1- β). La probabilidad de no detectarlo en la muestra K será: β^k-1 (1- β). Esta es una distribución geométrica de media 1/(1- β).



Conocida la curva característica, la construcción de la ARL es inmediata ya que:

Descentrado del proceso	Curva caractrística	Curva ARL
K	β Probabilidad de no detectar el cambio en la siguiente muestra	1/(1-β) Número medio de muestras para detectar el cambio

B) Cálculo de las curvas características y ARL del gráfico RCurva característica.

Hay que utilizar la distribución del rango relativo. La probabilidad de que una muestra caiga dentro de los límites de control será:

para un α determinado (error tipo 1) y dando valores a α (variación en la dispersión del proceso) obtenemos tos valores de β.

La curva ARL la obtenemos mediante la fórmula 1/(1- β)	Aumento de dispersión en el proceso	Curva caractrística	Curva ARL
	σ+/σ	β	1/(1-β)

Gráficos de control (, S)
Cuando crece el tamaño de muestra (n = 10 a12) el método del rango para estimar σ pierde eficiencia. En este caso es mejor reemplazar los gráficos ( , R) por los ( X, S) y calcular para cada subgrupo la media y la desviación típica S.

Aunque,


es un estimador centrado de σ ² S no lo es respecto de σ, ya que realmente estima C₄σ ya que E(s) = C₄σ ; C₄ es una constante que depende del tamaño de muestra.

Por otra parte la desviación típica de S es



Con esta información ya podemos establecer los límites de control con criterio “3σ ”:


Y poniendo :


tendremos :



Los parámetros B₅, B₆ están en la tabla IV

Si no se conoce σ, lo estimaremos de los datos pasados. A partir de (m) subgrupos obtenemos :


Siendo un estimador centrado de σ.

Los límites de control, resultarán:


Y poniendo :


tendremos :


En cuanto al gráfico X, cuando utilizamos como estimador de σ a , los límites de control “3σ” resultarán:


Y poniendo :


tendremos :


Las constantes A₃, B₃ y B₄ figuran en la tabla IV

Gráficos de control de sumas acumuladas (CUSUM)

Otros gráficos de control.- Gráfico de control de media móvil

Tablas para la elaboración de gráficos de control

MANUAL DE CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS
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