CONCEPTOS ESTADÍSTICOS BÁSICOS

CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

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CAPÍTULO 7.- GRAFICOS DE CONTROL POR VARIABLES

Gráfico basado en estudio inicial

A .- Gráfico de la media

B.- Gráfico del recorrido

Gráficos basados en valores standar

Gráficos de control para valores individuales

Líneas generales para el diseño del grafico \(\overline{X}\) ,R

Eficacia de los gráficos \(\overline{X}\) ,R


La eficacia de estos gráficos se describe a través de las curvas ARL (Longitud de racha media) y curva característica.
A) calculo de las curvas características y ARL del gráfico

- Curva característica

Suponemos la desviación típica conocida y constante. Si la medía cambia desde el valor objetivo μo hasta otro valor \( \mu_1 = \mu_0 + K·\sigma \) μ1 = μo + K. σ ,la probabilidad de no detectar el cambio en la primera muestra que se tome será:
distribución normal
    \( \beta = prob [LCI \leq X \leq LCS] \textrm{ cuando } \mu = \mu_0 + K \sigma \)
con :
    \( \displaystyle \overline{X} \approx N\left( \mu , \frac{\sigma^2}{n}\right) \quad ; \quad LCI = \mu - \frac{Z_{\alpha/2}}{\sqrt{n}} \quad ; \quad LCS = \mu + \frac{Z_{\alpha/2}}{\sqrt{n}} \)
por lo cual :
    \( \begin{array}{l} \beta = \Phi \left(\frac{LCS - (\mu_o + K \sigma)}{\sigma / \sqrt{n}}\right) - \Phi \left(\frac{LCI - (\mu_o + K \sigma)}{\sigma / \sqrt{n}}\right) \\ \\ \beta = \Phi \left(\frac{\mu + \frac{Z_{\alpha/2}}{\sqrt{n}} - (\mu_o + K \sigma)}{\sigma / \sqrt{n}}\right) - \Phi \left(\frac{\mu - \frac{Z_{\alpha/2}}{\sqrt{n}} - (\mu_o + K \sigma)}{\sigma / \sqrt{n}}\right) \\ \\ \beta = \Phi \left(Z_{\alpha/2} - K \sqrt{n}\right) - \Phi \left(- Z_{\alpha/2} - K \sqrt{n}\right) \end{array} \)
    curva caracteristica
Normalmente se elige α = 0,0027 (Error tipo I) Z α/2 = 3. Esta curva (Probabilidad de que el siguiente punto caiga dentro de los límites de control en función del Descentrado del proceso) viene representada (con α = 0,0027), para distintos tamaños de muestra (n) en la figura C.

Curva característica

Curva ARL

La probabilidad de no detectar el cambio en la 1ª muestra es \( 1 - \beta\). La de no detectarlo en la 2ª es \( \beta(1 - \beta)\). La probabilidad de no detectarlo en la muestra K será: \( \beta ^{k-1}(1 - \beta)\). Esta es una distribución geométrica de media \( 1/(1 - \beta)\).

curva característica

Conocida la curva característica, la construcción de la ARL es inmediata ya que:

Descentrado
del proceso
Curva
caractrística
Curva ARL
K β
Probabilidad de no detectar el cambio en la siguiente muestra
1/(1-β)
Número medio de muestras para detectar el cambio


B) Cálculo de las curvas características y ARL del gráfico RCurva característica.

Hay que utilizar la distribución del rango relativo. La probabilidad de que una muestra caiga dentro de los límites de control será:
    \( \beta = P(R \leq UCL) = P \Big([W_a(n)] \sigma \leq UCL \Big) P \Big([W_a(n)] \leq UCL / \sigma \Big) \)
para un α determinado (error tipo 1) y dando valores a α (variación en la dispersión del proceso) obtenemos los valores de β.

La curva ARL la obtenemos mediante la fórmula 1/(1- β) Aumento de dispersión
en el proceso
Curva
caractrística
Curva ARL
σ+ β 1/(1-β)

curva característica

curva característica

Gráficos de control (\(\overline{X}\), S)
Cuando crece el tamaño de muestra (n = 10 a12) el método del rango para estimar σ pierde eficiencia. En este caso es mejor reemplazar los gráficos ( \(\overline{X}\), R) por los ( \(\overline{X}\) , S) y calcular para cada subgrupo la media y la desviación típica S.

Aunque,
    \( S^2 = \frac{\sum(X-\overline{X})^2}{n-1} \)
es un estimador centrado de σ ² S no lo es respecto de σ, ya que realmente estima C4σ ya que E(s) = C4σ ; C4 es una constante que depende del tamaño de muestra.

Por otra parte la desviación típica de S es
    \( \sigma \sqrt{1 - C_4^2} \)
Con esta información ya podemos establecer los límites de control con criterio “3σ ”:
    \(\begin{array}{l} LCS = C_4 \sigma + 3 \sigma \sqrt{1 - C_4^2} \\ \\ LC = C_4 \sigma \\ \\ LCI = C_4 \sigma - 3 \sigma \sqrt{1 - C_4^2} \end{array} \)
Y poniendo :
    \( B_5 = C_4 - 3 \sigma \sqrt{1 - C_4^2} \quad ; \quad B_6 = C_4 + 3 \sigma \sqrt{1 - C_4^2} \)
tendremos :
    \( LCS = B_6 \sigma \quad ; \quad LC = C_4 \sigma \quad ; \quad LCI = B_5 \sigma \)
Los parámetros B5, B6 están en la tabla IV

Si no se conoce σ, lo estimaremos de los datos pasados. A partir de (m) subgrupos obtenemos :
    \( \displaystyle \overline{S} = \frac{\sum S_i}{m} \)
Siendo \( \overline{S}/ C_4 \) un estimador centrado de σ.

Los límites de control, resultarán:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} LCS = \overline{S} + 3\frac{\overline{S}}{C_4} \sqrt{1 - C_4^2} \\ \\ LC = \overline{S} \\ \\ LCI = \overline{S} - 3\frac{\overline{S}}{C_4} \sqrt{1 - C_4^2} \end{array}\)
Y poniendo :
    \( \displaystyle B_3 = 1 - \frac{3}{C_4} \sqrt{1 - C_4^2} \quad ; \quad B_4 = 1 + \frac{3}{C_4} \sqrt{1 - C_4^2} \)
tendremos :
    \( LCS = B_4 \overline{S} \quad ; \quad LC = \overline{S} \quad ; \quad LCI = B_3 \overline{S} \)
En cuanto al gráfico \(\overline{X}\) , cuando utilizamos como estimador de \( \sigma \; a \; \overline{S}/C_4 \) , los límites de control “3σ” resultarán:
    \( \displaystyle LCS = \overline{X} + 3\frac{\overline{S}}{c_4\sqrt{n}} \quad ; \quad LC = \overline{X} \quad ; \quad LCI = \overline{X} - 3\frac{\overline{S}}{C_4\sqrt{n}} \)
Y poniendo :
    \( \displaystyle A_3 = \frac{3}{C_4\sqrt{n}} \)
tendremos :
    \( LCS = \overline {\overline{X}} + A_3 \overline{S} \quad ; \quad LC = \overline{S} \quad ; \quad LCI = \overline {\overline{X}} - A_3 \overline{S} \)
Las constantes A3, B3 y B4 figuran en la tabla IV

Gráficos de control de sumas acumuladas (CUSUM)

Otros gráficos de control.- Gráfico de control de media móvil

Tablas para la elaboración de gráficos de control

MANUAL DE CALIDAD - CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

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tema escrito por: José Antonio Hervás