CONCEPTOS ESTADÍSTICOS BÁSICOS

CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

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Matemáticas y Poesía

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CAPÍTULO 7.- GRAFICOS DE CONTROL POR VARIABLES

Gráficos basados en un estudio inicial

A.- Gráfico de la media

B.- Gráfico del recorrido


Hemos visto que el rango muestral está relacionado con la desviación típica del proceso. Por consiguiente, la variabilidad del proceso puede controlarse representando los valores sucesivos del rango muestral que constituyen el gráfico del rango (R).
Los parámetros de (R) pueden determinarse con facilidad, la línea central será \( \overline{R} \). Para determinar los límites de control necesitamos estimar σR. Suponiendo que la variable sigue una distribución normal, σR puede encontrarse a partir de la distribución del rango relativo W = R/σ. Al ser la desviación típica de W = d3, la desviación típica de R será \( \sigma_R = d_3 \sigma \). Como σ es desconocida la estimamos por R/d2 con lo que \( \sigma_R = d_3·R/d_2 \). Considerando los límites habituales “3 sigma” los parámetros del gráfico de control serán:
    \( \displaystyle \begin{array}{l} LCS = \overline{R} + 3 \sigma_R = \overline{R} + 3 d_3·\frac{\overline{R}}{d_2} \\ \\ LC = \overline{R} \\ \\ LCI = \overline{R} - 3 \sigma_R = \overline{R} - 3 d_3·\frac{\overline{R}}{d_2} \end{array} \)
Si hacemos
    \( \displaystyle D_3 = 1 - 3·\frac{d_3}{d_2} \quad ; \quad D_4 = 1 + 3·\frac{d_3}{d_2} \)
resulta :
    \( LCS = D_4·\overline{R} \; ; \; LC = \overline{R} \; ; \; LCI = D_3·\overline{R} \)
Las constantes D3 y D4 están tabuladas para diferentes valores de D (Tabla IV).

Podemos calcular los límites del gráfico del recorrido especificando el error I (α) y utilizando la tabla de la distribución del rango relativo, calcular Wα (que depende del tamaño de la muestra) y calcular luego el límite superior de control
    \( \displaystyle LCS = W_\alpha ·\sigma \rightarrow \left( \sigma = \frac{\overline{R}}{d_2}\right) \)
Cuando se inicia el control estadístico y las muestras previas son utilizadas para construir los gráficos, \(\overline{X}\) , R, los primeros límites de control calculados suelen considerarse como valores de prueba. A continuación, las medias y los rangos son representados en los gráficos y se investigan aquellos puntos situados fuera de control. Si se descubren causas asignables, los puntos se descartan y se calculan nuevos límites de prueba. El procedimiento se repite hasta que todos los puntos se sitúen dentro de control. la muestra inicial no debe reducirse por debajo de aproximadamente 20 muestras.
El concepto del subgrupo racional juega un importante papel en el uso de los gráficos ( \(\overline{X}\) , R). El gráfico \(\overline{X}\) realiza el seguimiento del nivel medio de calidad del proceso. Por consiguiente, las muestras deben seleccionarse de forma que se maximice la probabilidad de diferencia entre medias muestrales. Otra forma de expresar lo anterior es que el gráfico \(\overline{X}\) hace el seguimiento de variabilidad del proceso a lo largo del tiempo mientras que el gráfico del rango R mide la variabilidad dentro de la muestra (variabilidad instantánea en un momento dado).
La estima de la desviación típica del proceso, utilizada para calcular los límites de control se calcula a partir de la variabilidad dentro de cada muestra y por consiguiente refleja solamente la variabilidad dentro de la muestra. No es correcto estimar σ basándose en
    \( \displaystyle S = \sqrt{\frac{\sum\left(X_{ij} - \overline{X}\right)^2}{N-1}} \)
que sobreestimaría σ por combinar la variabilidad entre muestras con la variabilidad dentro de la muestra.

Ejemplo:

En una fabricación se desea controlar el peso de unos cartuchos de 55 mm de diámetro (calibre 55), pero no se conocen la media ni la dispersión del proceso. Durante varios días en que la producción se estimó bajo control se obtuvieron 25 muestras de 5 unidades (los valores no son reales)

\( \scriptstyle \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \textrm{Muestra} & \textrm{Peso cartuchos} & \overline{X} & R \\ \hline 1 & 1,395; \; 1,390; \; 1,396; \; 1,398; \; 1,395 & 1,3948 & 0,008 \\ \hline 2 & & 1,3874 & 0,006 \\\hline 3 & & 1,3963& 0,010 \\ \hline 4 & & 1,3912 & 0,007 \\\hline 5 & & 1,3946& 0,012 \\ \hline 6 & & 1,3800& 0,016 \\\hline 7 & & 1,3942& 0,009 \\ \hline 8 & & 1,3947& 0,011 \\\hline 9 & & 1,3864& 0,012 \\ \hline 10 & & 1,3868 & 0,013 \\\hline 11 & & 1,3896 & 0,028 \\ \hline 12 & & 1,3912 & 0,008 \\\hline 13 & & 1,3930 & 0,013 \\ \hline 14 & & 1,3890& 0,016 \\\hline 15 & & 1,3070 & 0,019 \\ \hline 16 & & 1,3935 & 0,022 \\\hline 17 & & 1,3862 & 0,018 \\ \hline 18 & & 1,3810 & 0,011 \\\hline 19 & & 1,3825 & 0,012 \\ \hline 20 & & 1,3919 & 0,008 \\\hline 21 & & 1,3926& 0,032 \\ \hline 22 & & 1,3933 & 0,008 \\\hline 23 & & 1,3966& 0,070 \\ \hline 24 & & 1,3926& 0,011 \\ \hline 25 & & 1,3860 & 0,016 \\\hline \end{array} \)

De ese modo obtenemos:
    \( \overline{X}_1 = 1,3904 \quad ; \quad \overline{R}_1 = 0,013 \)
Utilizando criterio \(3 \sigma \) para el gráfico de medias obtendríamos:
    \( LSC = \overline{X}_1 + A_2 \overline{R}_1 = 1,3904 + 0,577 \times 0,013 = 1,3979 \)

    \( LIC = \overline{X}_1 - A_2 \overline{R}_1 = 1,3904 - 0,577 \times 0,013 = 1,3829 \)
Vemos que las muestras 6, 18 y 19 caen fuera de límites. Rechazadas dichas muestras los nuevos límites quedarían:
    \( \overline{X}_2 = 1,3917 \quad ; \quad \overline{R}_2 = 0,0135 \)
Y de ese modo:
    \( LSC = \overline{X}_2 + A_2 \overline{R}_2 = 1,3917 + 0,577 \times 0,0135 = 1,3992 \)

    \( LIC = \overline{X}_2 - A_2 \overline{R}_2 = 1,3917 - 0,577 \times 0,0135 = 1,3842 \)
Y todas las medias de subgrupos caen dentro de estos límites.
Veamos que ocurre con los recorridos (ó rangos) -(utilizamos criterios 3 σR )
    \( LS = D_4 \overline{R}_2 = 2,114 \times 0,0135 = 0,0285 \)
La muestra 21 tiene un recorrida (0.032) mayor que LS por lo que la eliminamos. Con las muestras 6, 18, 19 y 21 eliminadas calculamos de nuevo los límites:
    \( \overline{X}_3 = 1,3916 \quad ; \quad \overline{R}_3 = 0,0126 \)
Y tenemos para la media
    \( LSC = \overline{X}_3 + A_2 \overline{R}_3 = 1,3916 + 0,577 \times 0,0126 = 1,3988 \)

    \( LIC = \overline{X}_3 - A_2 \overline{R}_3 = 1,3916 - 0,577 \times 0,0126 = 1,3843 \)
Y para el recorrido
    \( LS = D_4 \overline{R}_3 = 2,114 \times 0,0126 = 0,026 \)
La muestra 11 queda fuera de límites por lo que eliminándola, los nuevos estadísticos quedarán:
    \( \overline{X}_4 \quad ; \quad \overline{R}_4 = 0,0118 \)
Y los nuevos límites de control serán, para las medias muestrales
    \( LSC = \overline{X}_4 + A_2 \overline{R}_4 = 1,3917 + 0,577 \times 0,0118 = 1,3985 \)

    \( LIC = \overline{X}_4 - A_2 \overline{R}_4 = 1,3917 - 0,577 \times 0,0118 = 1,3848 \)
Y para los recorridos muestrales
    \( LS = D_4 \overline{R}_4 = 2,114 \times 0,0118 = 0,025 \)
Como vemos no hay medias muestrales ni recorridos muestrales que se salgan de éstos líimites. Estos últimos quedan como definitivos.

Gráficos basados en valores standar

Gráficos de control para valores individuales

Líneas generales para el diseño del grafico \(\overline{X}\) ,R

Eficacia de los gráficos \(\overline{X}\) ,R

Gráficos de control de sumas acumuladas (CUSUM)

Otros gráficos de control.- Gráfico de control de media móvil

Tablas para la elaboración de gráficos de control

MANUAL DE CALIDAD - CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

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tema escrito por: José Antonio Hervás