CAPÍTULO 7.- GRAFICOS DE CONTROL POR
VARIABLES
Introducción. Gráficos basado en un estudio inicial
Muchas características de calidad pueden expresarse en
términos de medida numérica. Por ejemplo, el diámetro
de una pieza puede medirse con un micrómetro y expresarse
en milímetros. Una característica cualitativa
que sea medible tal como un volumen, un peso, o cualquier dimensión,
en general, es una variable.
Cuando nos referimos a una variable, es una práctica
normal el controlar tanto el valor medio como la dispersión.
El control del valor medio se realiza, habitualmente, con el
gráfico de control para medias, o gráfico \(\overline{X}\) .
El control de la dispersión puede efectuarse bien con
el gráfico de control de la desviación típica
(gráfico S) o con el gráfico de control de rangos
(gráfico R). El uso del gráfico R está
más extendido que el del gráfico S.
Debemos señalar que es necesario mantener el control
sobre ambos: Media y dispersión del proceso. La figura
2 representa la situación de un proceso. En a) tanto
la media μ como la desviación típica
σ están bajo control a sus valores
nominales (μ o, σo)
y en consecuencia la mayor parte de la producción del
proceso cae dentro de los límites de especificación.
En la figura b) la media se ha trasladado μ
1 > μo dando como
resultado una cierta fracción de la producción
fuera de especificación. En la figura c) la desviación
típica ha cambiado σ 1
> σo lo que origina también
que un parte de la producción esté fuera de norma.
Los gráficos X-R se utilizan cuando la característica
de calidad que se desea controlar es una variable continua.
A.- Gráfico de la media
Supongamos que una variable está normalmente distribuida
con media μ y desviación típica
σ y que ambas son conocidas. Si X1,
X2, ... son mediciones de una muestra de tamaño
n, la media muestral, dada por :
\( \displaystyle \overline{X} = \frac{X_1 + X_2 + ··· + X_n}{n}\)
está normalmente distribuida con media μ
y desviación típica \( \sigma_{\overline{X}} =
\sigma/\sqrt{n}\). Además, la probabilidad de que cualquier
media muestral caiga en el intervalo
\( \left(\mu - Z_{\alpha/2}·\sigma_{\overline{X}}\; ;
\; \mu + Z_{\alpha/2} · \sigma_{\overline{X}}\right)\)
es 1 - α, siendo α
el error tipo I o Nivel de significación (probabilidad
de decir que el proceso se ha descorregido cuando en realidad
el proceso sigue la distribución N(μ
, σ),
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\( Prob \left[\mu - Z_{\alpha/2}· \frac{\alpha}{\sqrt{n}} \prec \overline{X} \prec \mu + Z_{\alpha/2}· \frac{\alpha}{\sqrt{n}}\right] = 1 - \alpha \)
Por consiguiente, si μ y σ
son conocidos la expresión anterior puede utilizarse
para determinar los límites de control de la media muestral.
Habitualmente usaremos los límites 3σ
reemplazando Zα/2 por 3. Si
la media muestral cae fuera de estos límites, esto indicará
que la media del proceso no permanece en μ.
Hemos supuesto que la distribución original
era normal. Si no lo fuera, los anteriores resultados
serían también aproximadamente válidos
por aplicación del teorema central del
límite.
En la práctica no conocemos μ
ni σ,
por consiguiente, debemos estimarlas a partir
de muestras previas obtenidas del proceso cuando
se cree que éste está bajo control.
Esta estimación debe basase como mínimo
en 20 o 25 muestras. |
Supongamos que disponemos de (m) muestras, cada una de
ellas con (n) observaciones. Típicamente, n será
pequeño 4 ó 5. En esa situación,
el mejor estimador de la media del proceso será
\( \displaystyle \overline{\overline{X}} = \frac{\overline{X}_1 + \overline{X}_2 + ··· + \overline{X}_n}{n}\)
se utilizará como valor de la línea central
del gráfico.
Para construir los límites de control, necesitamos
un estimador de la desviación típica s.
Podemos estimar s
a partir de los rangos o de las desviaciones típicas
de las (m) muestras. De momento, haremos la estimación
a partir de los rangos. Si X1, X2,...,
Xn, son mediciones de una muestra de tamaño
n, el rango de la muestra es R =Xmax - Xmin.
La variable aleatoria W = R/s
sigue una distribución conocida denominada distribución
del rango relativo. Los parámetros de esta distribución
son función del tamaño de muestra (n). La
media de W es (d2) y la desviación típica
(d3). En consecuencia, un estimador de s
es R/d2. Los valores de d2 están
tabulados (Tablas II y III). Si
\( \displaystyle \overline{R} = \frac{R_1 + R_2 + ··· +
R_n}{n}\)
la mejor estimación de s
será \( \sigma = \overline{R}/d_2 \).
Cuando el tamaño de la muestra es pequeño:
n = 4 ó 5 el método de estimar a partir
del rango da casi tan buen resultado como estimarla a
partir de la varianza muestral. Sin embargo, para valores
de n, digamos no mayores de 10, pierde rápidamente
eficiencia ya que ignora toda la información comprendida
entre Xmax y Xmin.
Si usamos \(\overline{X}\) como estimador de m
y \( \overline{R}/d_2 \) como estimador de s
entonces los límites de control del gráfico de
medias quedarían:
\( \displaystyle LCS = \overline{X} + Z_{\alpha/2}· \frac{\overline{R}}{d_2\sqrt{n}} \quad \textrm{ Linea central} = \overline{x} \quad LCS = \overline{X} - Z_{\alpha/2}· \frac{\overline{R}}{d_2\sqrt{n}} \)
Za/2
lo obtendríamos de las tablas de Distribución
Normal (Tabla I), una vez elegido a
(error tipo I).
Normalmente Za/2
= 3 (a = 0,0027), en
este caso la cantidad \( A_2 = 3/d_2\sqrt{n} \) esta tabulada
y el calculo de los límites de control da:
\( \displaystyle LCS = \overline{X} + A_2·\overline{R} \quad \textrm{ Linea
central} = \overline{x} \quad LCS = \overline{X} - A_2·\overline{R} \)
Gráficos basado en
un estudio inicial. Gráfico del recorrido
Gráficos basados en valores
standar
Gráficos de control
para valores individuales
Líneas generales
para el diseño del grafico \(\overline{X}\)
,R
Eficacia de los gráficos
\(\overline{X}\)
,R
Gráficos de control
de sumas acumuladas (CUSUM)
Otros gráficos
de control.- Gráfico de control de media móvil
Tablas para la elaboración
de gráficos de control |
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