CONTROL DE
CALIDAD

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CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

 

CAPÍTULO 7.- GRAFICOS DE CONTROL POR VARIABLES

Introducción. Gráficos basado en un estudio inicial


Muchas características de calidad pueden expresarse en términos de medida numérica. Por ejemplo, el diámetro de una pieza puede medirse con un micrómetro y expresarse en milímetros. Una característica cualitativa que sea medible tal como un volumen, un peso, o cualquier dimensión, en general, es una variable.

Cuando nos referimos a una variable, es una práctica normal el controlar tanto el valor medio como la dispersión. El control del valor medio se realiza, habitualmente, con el gráfico de control para medias, o gráfico \(\overline{X}\) . El control de la dispersión puede efectuarse bien con el gráfico de control de la desviación típica (gráfico S) o con el gráfico de control de rangos (gráfico R). El uso del gráfico R está más extendido que el del gráfico S.

Debemos señalar que es necesario mantener el control sobre ambos: Media y dispersión del proceso. La figura 2 representa la situación de un proceso. En a) tanto la media μ como la desviación típica σ están bajo control a sus valores nominales (μ o, σo) y en consecuencia la mayor parte de la producción del proceso cae dentro de los límites de especificación. En la figura b) la media se ha trasladado μ 1 > μo dando como resultado una cierta fracción de la producción fuera de especificación. En la figura c) la desviación típica ha cambiado σ 1 > σo lo que origina también que un parte de la producción esté fuera de norma. producción fuera de norma
Los gráficos X-R se utilizan cuando la característica de calidad que se desea controlar es una variable continua.

A.- Gráfico de la media

Supongamos que una variable está normalmente distribuida con media μ y desviación típica σ y que ambas son conocidas. Si X1, X2, ... son mediciones de una muestra de tamaño n, la media muestral, dada por :
    \( \displaystyle \overline{X} = \frac{X_1 + X_2 + + X_n}{n}\)
está normalmente distribuida con media μ y desviación típica \( \sigma_{\overline{X}} = \sigma/\sqrt{n}\). Además, la probabilidad de que cualquier media muestral caiga en el intervalo
    \( \left(\mu - Z_{\alpha/2}\sigma_{\overline{X}}\; ; \; \mu + Z_{\alpha/2} \sigma_{\overline{X}}\right)\)
es 1 - α, siendo α el error tipo I o Nivel de significación (probabilidad de decir que el proceso se ha descorregido cuando en realidad el proceso sigue la distribución N(μ , σ),
tipos de distribuciones normales
    \( Prob \left[\mu - Z_{\alpha/2} \frac{\alpha}{\sqrt{n}} \prec \overline{X} \prec \mu + Z_{\alpha/2} \frac{\alpha}{\sqrt{n}}\right] = 1 - \alpha \)
Por consiguiente, si μ y σ son conocidos la expresión anterior puede utilizarse para determinar los límites de control de la media muestral. Habitualmente usaremos los límites 3σ reemplazando Zα/2 por 3. Si la media muestral cae fuera de estos límites, esto indicará que la media del proceso no permanece en μ.

Hemos supuesto que la distribución original era normal. Si no lo fuera, los anteriores resultados serían también aproximadamente válidos por aplicación del teorema central del límite.
En la práctica no conocemos μ ni σ, por consiguiente, debemos estimarlas a partir de muestras previas obtenidas del proceso cuando se cree que éste está bajo control. Esta estimación debe basase como mínimo en 20 o 25 muestras.
Supongamos que disponemos de (m) muestras, cada una de ellas con (n) observaciones. Típicamente, n será pequeño 4 ó 5. En esa situación, el mejor estimador de la media del proceso será
    \( \displaystyle \overline{\overline{X}} = \frac{\overline{X}_1 + \overline{X}_2 + + \overline{X}_n}{n}\)
se utilizará como valor de la línea central del gráfico.

Para construir los límites de control, necesitamos un estimador de la desviación típica s. Podemos estimar s a partir de los rangos o de las desviaciones típicas de las (m) muestras. De momento, haremos la estimación a partir de los rangos. Si X1, X2,..., Xn, son mediciones de una muestra de tamaño n, el rango de la muestra es R =Xmax - Xmin.

La variable aleatoria W = R/s sigue una distribución conocida denominada distribución del rango relativo. Los parámetros de esta distribución son función del tamaño de muestra (n). La media de W es (d2) y la desviación típica (d3). En consecuencia, un estimador de s es R/d2. Los valores de d2 están tabulados (Tablas II y III). Si
    \( \displaystyle \overline{R} = \frac{R_1 + R_2 + + R_n}{n}\)
la mejor estimación de s será \( \sigma = \overline{R}/d_2 \).

Cuando el tamaño de la muestra es pequeño: n = 4 ó 5 el método de estimar a partir del rango da casi tan buen resultado como estimarla a partir de la varianza muestral. Sin embargo, para valores de n, digamos no mayores de 10, pierde rápidamente eficiencia ya que ignora toda la información comprendida entre Xmax y Xmin.

Si usamos \(\overline{X}\) como estimador de m y \( \overline{R}/d_2 \) como estimador de s entonces los límites de control del gráfico de medias quedarían:
    \( \displaystyle LCS = \overline{X} + Z_{\alpha/2} \frac{\overline{R}}{d_2\sqrt{n}} \quad \textrm{ Linea central} = \overline{x} \quad LCS = \overline{X} - Z_{\alpha/2} \frac{\overline{R}}{d_2\sqrt{n}} \)
Za/2 lo obtendríamos de las tablas de Distribución Normal (Tabla I), una vez elegido a (error tipo I).

Normalmente Za/2 = 3 (a = 0,0027), en este caso la cantidad \( A_2 = 3/d_2\sqrt{n} \) esta tabulada y el calculo de los límites de control da:
    \( \displaystyle LCS = \overline{X} + A_2\overline{R} \quad \textrm{ Linea central} = \overline{x} \quad LCS = \overline{X} - A_2\overline{R} \)
Gráficos basado en un estudio inicial. Gráfico del recorrido

Gráficos basados en valores standar

Gráficos de control para valores individuales

Líneas generales para el diseño del grafico \(\overline{X}\) ,R

Eficacia de los gráficos \(\overline{X}\) ,R

Gráficos de control de sumas acumuladas (CUSUM)

Otros gráficos de control.- Gráfico de control de media móvil

Tablas para la elaboración de gráficos de control

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tema escrito por: José Antonio Hervás