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CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

 

CAPÍTULO 5.- TEST DE HIPÓTESIS

Contraste de medias

Contraste de diferencia de medias


Sean X1 y X2 dos medias muestrales de dos poblaciones. Los tamaños de cada una de estas muestras son n1 y n2 respectivamente. Queremos observar si la diferencia entre las medias es significativa o no, es decir, comprobar si podemos aceptar que μ 1 = μ2.

Tenemos:

\( \scriptstyle \begin{array}{|c|c|} \hline \textrm{Hipotesis nula} & H_0: \mu_1 - \mu_2 \\ \hline \textrm{Hipotesis alternativa} & H_a: \mu_1 - \mu_2 \neq 0 \\ \hline \textrm{Estadistico, con distribucion N(0,1)} & Z = \frac{(X_1 - X_2)-(\mu_1 - \mu_2)}{\left(\sqrt{\sigma_1^2/\sqrt{n_1}}\right) + \left(\sqrt{\sigma_2^2/\sqrt{n_2}}\right)}\\ \hline \textrm{Nivel de signficacion (generalmente)} & \alpha = 0,05 \\ \hline \textrm{Region critica} & Z_\alpha > 1,645 \\ \hline \textrm{Criterio aceptacion Ho} & -1,96 \leq Z \leq 1,96 \\ \hline \hline \end{array} \)

Si las desviaciones de las poblaciones son desconocidas y sólo conocemos las desviaciones muestrales, tendremos que considerar la distribución t de Student en vez de la normal.

Ejemplo 2. Se conocen los datos de dos muestras de dos poblaciones, que son los siguientes:

\( \scriptstyle \begin{array}{|c|c|} \hline X_i = 74 & X_2 = 78 \\ \hline S_1^2 = 225 & S_2^2 = 169 \\ \hline N_1 = 42 & N_2 = 56\\ \hline \hline \end{array} \)

Se pide contrastar estadísticamente si hay diferencia entre las dos poblaciones, a un nivel de significación del 0.05.

Las dos poblaciones siguen una distribución Normal N(μ1, σ1) y N(μ2, σ2)

Solución.

Sabemos que las distribuciones de las dos poblaciones son Normales, pero desconocemos el valor de su desviación, sólo conocemos el valor de la desviación típica de las muestras. Por ahora, planteemos las hipótesis:
  • Hipótesis nula → Ho : μ1 - μ2= 0, es decir, μ1 = μ2,

  • Hipótesis alternativa → Ha : μ1 - μ2 ≠ 0, es decir, μ1 ≠ μ2
Aunque el estadístico que correspondería a este test es el asociado a una distribución T-Student, por ser las desviaciones de las poblaciones desconocidas, como el tamaño de las muestras es elevado y sabemos que una distribución T-Student con muchos grados de libertad se aproximaba mucho a una Normal, utilizaremos el siguiente estadístico:
    Estadístico \( \displaystyle Z = \frac{(X_1 - X_2)-(\mu_1 - \mu_2)}{\left(\sqrt{\sigma_1^2/\sqrt{n_1}}\right) + \left(\sqrt{\sigma_2^2/\sqrt{n_2}}\right)} \) con distribución N(0,1)
Con los datos de la población y de la muestra, calculamos el estadístico, aceptando, por ahora, la hipótesis nula (m1 = m2), y observemos en que región se sitúa el estadístico.
    \( \displaystyle Z = \frac{(X_1 - X_2)-(\mu_1 - \mu_2)}{\left(\sqrt{\sigma_1^2/\sqrt{n_1}}\right) + \left(\sqrt{\sigma_2^2/\sqrt{n_2}}\right)} = \frac{(74-78) - 0}{\sqrt{\displaystyle \frac{225}{42} + \frac{169}{56}}} = - 1,38 \)
Como podemos ver, el estadístico se sitúa en la región de aceptación de la hipótesis nula, con lo que aceptaríamos la Ho1 = μ2), y podríamos concluir que, a un nivel de significación de 0.05, las dos poblaciones se pueden considerar iguales estadísticamente.

Comprobación de la normalidad de una muestra.

Muchas pruebas estadísticas están basadas en el supuesto de que el universo del que se saca la muestra está normalmente distribuido. Por tanto, es prudente cuando sea posible, comprobar este supuesto de normalidad. Son varios los procedimientos disponibles para realizar la prueba. El método más utilizado es la prueba X².
Una prueba X² es aquella que compara un conjunto de frecuencias de muestras con el conjunto de frecuencias que cabría esperar basadas en alguna hipótesis. Si los dos grupos se comparan bien, la hipótesis se rechaza. Como la distribución en la cual se basa la decisión de aceptar o rechazar se funda en la distribución X², esta prueba se denomina prueba X². Se puede utilizar para comprobar la adecuación de cualquier curva de frecuencia. En nuestro caso la hipótesis es que la distribución de frecuencias sigue una distribución Normal

La formulación precisa de una prueba X² es la siguiente; supongamos que F1, F2,…, Fk sean las frecuencias de muestra de k clases y f1, f2, …; fk las frecuencias que se esperarían con base en la hipótesis de normalidad.

En tal caso, si Ho es cierto, los valores de muestra de la cantidad
    \( \displaystyle \sum \limits _{i=1}^k \frac{\left(F_i - f_i\right)^2}{f_i} \)
tenderán a formar una distribución X², de parámetro “v”.

Al aplicar una prueba X² para determinar la normalidad de una distribución, las frecuencias reales de un histograma se comparan con las frecuencias teóricas obtenidas, suponiendo que el universo está normalmente distribuido. Se “adapta” la curva normal dándole las mismas medias y desviación estandar del histograma de la muestra. Las frecuencias teóricas y reales se comparan en la forma que se describe mediante la fórmula anterior, y la tabla X² se utiliza entrando con v = k-3, siendo k el número de intervalos elegidos en el diagrama de frecuencias.

El proceso de adaptación impone a continuación las tres condiciones siguientes:
    \( \displaystyle \sum f_i = \sum F_i \; ; \; \overline{X} = \sum \frac{F_iX_i}{n} \; ; \; \sigma^2 = \sum \frac{F_i^2 X_i^2}{n} \)
Utilizando la nomenclatura usada en estadística matemática, decimos que estas tres condiciones ocasionan una pérdida de tres “grados de libertad”.

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tema escrito por: José Antonio Hervás