CAPÍTULO 5.- TEST DE HIPÓTESIS
Contraste
de medias
Contraste de diferencia de medias
Sean X1 y X2 dos medias muestrales de
dos poblaciones. Los tamaños de cada una de estas muestras
son n1 y n2 respectivamente. Queremos
observar si la diferencia entre las medias es significativa
o no, es decir, comprobar si podemos aceptar que m
1 = m2.
Tenemos:
Si las desviaciones de las poblaciones son desconocidas y
sólo conocemos las desviaciones muestrales, tendremos
que considerar la distribución t de Student en vez
de la normal.
Ejemplo 2. Se conocen los datos de dos muestras
de dos poblaciones, que son los siguientes:
Se pide contrastar estadísticamente si hay diferencia
entre las dos poblaciones, a un nivel de significación
del 0.05.
Las dos poblaciones siguen una distribución Normal N(m1,
s1)
y N(m2,
s2)
Solución.
Sabemos que las distribuciones de las dos poblaciones son Normales,
pero desconocemos el valor de su desviación, sólo
conocemos el valor de la desviación típica de
las muestras. Por ahora, planteemos las hipótesis:
- Hipótesis nula
Ho : m1
- m2=
0, es decir, m1
= m2,
- Hipótesis alternativa
Ha : m1
- m2
 0, es decir,
m1
m2
Aunque el estadístico que correspondería a este
test es el asociado a una distribución T-Student, por
ser las desviaciones de las poblaciones desconocidas, como el
tamaño de las muestras es elevado y sabemos que una distribución
T-Student con muchos grados de libertad se aproximaba mucho
a una Normal, utilizaremos el siguiente estadístico:
Estadístico
con distribución N(0,1)
Con los datos de la población y de la muestra, calculamos
el estadístico, aceptando, por ahora, la hipótesis
nula (m1
= m2),
y observemos en que región se sitúa el estadístico.
Como podemos
ver, el estadístico se sitúa en la región
de aceptación de la hipótesis nula, con lo que
aceptaríamos la Ho (m1
= m2), y podríamos
concluir que, a un nivel de significación de 0.05,
las dos poblaciones se pueden considerar iguales estadísticamente.
Comprobación de la normalidad de una muestra.
Muchas pruebas estadísticas están basadas en
el supuesto de que el universo del que se saca la muestra
está normalmente distribuido. Por tanto, es prudente
cuando sea posible, comprobar este supuesto de normalidad.
Son varios los procedimientos disponibles para realizar la
prueba. El método más utilizado es la prueba
X2.
Una prueba X2 es aquella que compara un conjunto
de frecuencias de muestras con el conjunto de frecuencias
que cabría esperar basadas en alguna hipótesis.
Si los dos grupos se comparan bien, la hipótesis se
rechaza. Como la distribución en la cual se basa la
decisión de aceptar o rechazar se funda en la distribución
X2, esta prueba se denomina prueba X2.
Se puede utilizar para comprobar la adecuación de cualquier
curva de frecuencia. En nuestro caso la hipótesis es
que la distribución de frecuencias sigue una distribución
Normal
La formulación precisa de una prueba X2
es la siguiente; supongamos que F1, F2,…,
Fk sean las frecuencias de muestra de k clases
y f1, f2, …; fk las
frecuencias que se esperarían con base en la hipótesis
de normalidad.
En tal caso, si Ho es cierto, los valores de muestra
de la cantidad
tenderán
a formar una distribución X2, de parámetro
“v”.
Al aplicar una prueba X2 para determinar la normalidad
de una distribución, las frecuencias reales de un histograma
se comparan con las frecuencias teóricas obtenidas,
suponiendo que el universo está normalmente distribuido.
Se “adapta” la curva normal dándole las
mismas medias y desviación estandar del histograma
de la muestra. Las frecuencias teóricas y reales se
comparan en la forma que se describe mediante la fórmula
anterior, y la tabla X2 se utiliza entrando con
v = k-3, siendo k el número de intervalos elegidos
en el diagrama de frecuencias.
El proceso de adaptación impone a continuación
las tres condiciones siguientes:
Utilizando la nomenclatura usada en estadística matemática,
decimos que estas tres condiciones ocasionan una pérdida
de tres “grados de libertad”.
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