Y, a partir de ahí, decidir si, con los
datos que poseemos de la muestra, tenemos caracterizada a la
población.
Herramientas para contrastar hipótesis
Los dos tipos de distribuciones más importantes, aunque
no únicos, para el contraste de hipótesis, son
las distribuciones Normal y T-Student, que hemos visto en el
capítulo anterior.
El contraste de hipótesis es un conjunto de reglas que
nos permiten decidir cuál de entre dos hipótesis
debe ser aceptada como cierta en base a los resultados obtenidos
en una observación muestral. Se conocen como hipótesis
nula (Ho) e hipótesis alternativa
(Ha).
La hipótesis nula puede mantenerse mientras
los datos no indiquen su falsedad; la hipótesis nula
nunca se puede afirmar , solo podremos aceptarla o rechazarla.
Por lo tanto trataremos de decidir si la información
muestral que poseemos está en consonancia con Ho,
o bien nos permite rechazar esa creencia con lo que aceptaremos
Ha.
Podemos distinguir entre dos tipos de hipótesis:
- Paramétricas que se refieren a conjeturas sobre
el parámetro de una distribución.
- No paramétricas que responden a afirmaciones acerca
de la naturaleza de la distribución.
Región crítica. Tipos de errores
En la práctica el Contraste de Hipótesis consiste
en estudiar si un estadístico que es función de
las observaciones de la muestra está dentro de una región
llamada de aceptación, o se encuentra en la región
de rechazo o región crítica, de tal forma que
si el estadístico se encuentra en la región de
aceptación se aceptará la hipótesis nula
y si cae en la región de rechazo se rechazará
dicha hipótesis.
El estadístico muestral es un fenómeno aleatorio,
por lo que pudiera pasar que aunque la Ho fuera cierta,
el estadístico se encontrara en la región de rechazo,
en esta situación estaríamos cometiendo un Error
de Tipo I (α).
Otra posible situación sería encontrar el estadístico
en la región de aceptación siendo la Ho
falsa, con lo que cometeríamos un Error Tipo II
(β). La
forma de minimizar este problema es empleando muestras de tamaño
grande. Generalmente se procede fijando una probabilidad de
error α.
Al valor α
se le denomina nivel de significación y habitualmente
es del 5%.
Aunque existen diversos tipos de contrastes de hipótesis,
únicamente explicaremos y pondremos ejemplo de dos de
ellos, que son el contraste de medias y el contraste de diferencias
de medias.
Contraste de medias
Con la notación que habitualmente se utiliza en el contraste
de hipótesis tendremos que μ
es la media de la población, σ
la desviación típica de la población, s
la desviación típica de la muestra, n es el tamaño
de muestra, X la media de la muestra, y Z o t es el estadístico.
Con relación al contraste de medias, suelen emplearse
dos tipos de pruebas, los tests unilaterales o los tests bilaterales,
que tienen, respectivamente, las siguientes estructuras.
\( \scriptstyle \begin{array}{|c|c|c|} \hline & \textrm{test
unilateral} & \textrm{test bilateral} \\ \hline \textrm{Hipotesis
nula} & H_0: \mu = \mu_0 & H_0: \mu = \mu_0 \\ \hline \textrm{Hipotesis
alternativa} & H_a: \mu \neq \mu_0 & H_a: \mu \neq \mu_0 \\
\hline \textrm{Estadistico, con distribucion N(0,1)} & Z =
\frac{X-\mu_o}{\sigma/\sqrt{n}}& Z = \frac{X-\mu_o}{\sigma/\sqrt{n}}
\\ \hline \textrm{Nivel de signficacion (generalmente)} &
\alpha = 0,05 & \alpha = 0,05 \\ \hline \textrm{Region critica}
& Z_\alpha > 1,645 & -1,96 \leq Z_\alpha n \leq 1,96 \\ \hline
\textrm{Criterio aceptacion Ho} & Z < Z_\alpha & -1,96 \leq
Z \leq 1,96 \\ \hline \hline \end{array} \)
Ejemplo 1. Un laboratorio farmacéutico
afirma que el antiinflamatorio fabricado por ellos elimina la
inflamación en 14 minutos en los casos corrientes.
Con el objeto de comprobar estadísticamente esta afirmación,
eligimos al azar 18 pacientes con inflamaciones varias y tomamos
como variable de respuesta el tiempo transcurrido entre la
administración del antiinflamatorio y el momento en
que desaparece la inflamación. Además, nos dicen
que la variable tiempo transcurrido entre la administración
del antiinflamatorio y el momento en que desaparece la inflamación
sigue una distribución normal de media 14 y desviación
7. El tiempo medio de respuesta de la muestra fue de 19 minutos.
Se pide comprobar la afirmación del laboratorio a un
nivel de significación de 0.05.
Solución.
Primero consideremos los datos que tenemos.
X = 19, μ
= 14, σ
= 7, n = 18
Planteemos ahora las hipótesis de este test. Queremos
contrastar la hipótesis nula a partir de la afirmación
de la empresa que dice que la inflamación desaparece
en 14 minutos; así pues, tendremos:
Hipótesis nula →
Ho : μ
= 14
La hipótesis alternativa será el caso desfavorable,
en esta ocasión para la empresa, y puede escribirse:
Hipótesis alternativa →
Ha : μ>
14
Procederemos aceptando de entrada la hipótesis nula (m
= 14), calculando el estadístico y observando si se sitúa
en la región crítica. Si así sucediera,
rechazaríamos la creencia inicial de aceptación
de la hipótesis nula.
Sustituyendo los parámetros de la población y
de la muestra en el estadístico tenemos :
\( \displaystyle Z = \frac{X-\mu_o}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{19-14}{7/\sqrt{18}}
= 3,03 \)
Con lo que podemos observar que el estadístico se sitúa
en la región crítica y ,por lo tanto no sigue
el criterio de aceptación de la hipótesis nula.
De ese modo, rechazaríamos la hipótesis Ho
de que μ = 14 y concluimos que a un nivel
0.05 el tiempo medio de eliminar la inflamación por
este antiinflamatorio es superior a 14 minutos.
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