CAPÍTULO 4.- FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN
DE PROBABILIDADES
La
distribución normal
La Distribución T
de Student
Distribución
binomial
Distribución
de Poisson
Para entender la Distribución de Poisson, vamos analizar
un ejemplo detenidamente. Supongamos que se tiene una tabla
rectangular de madera, de 1 metro por 1 metro, pintada con un
recubrimiento sobre cuya superficie se presentan aleatoriamente
pequeños defectos. Estos defectos podrían ser
por ejemplo partículas muy pequeñas de pigmento
que no fueron bien molidas al fabricar la pintura. Se desea
calcular la probabilidad de que aparezcan estos defectos y para
ello podríamos subdividir la superficie en zonas rectangulares
mas pequeñas y de igual tamaño :
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Tenemos la superficie dividida en 4 zonas rectangulares de igual
tamaño. Observamos que en algunas zonas aparece un defecto
superficial y en otras no. Vamos a hacer las siguientes suposiciones:
- En cada zona sólo puede aparecer 1 defecto.
- Si la probabilidad de que aparezca un defecto en todo
el área es p, la probabilidad de que aparezca un
defecto en una zona es p/4.
Entonces, utilizando la Distribución Binomial podemos
calcular la probabilidad de que en nuestra superficie aparezcan
0, 1, 2, 3, 4 defectos:
El promedio de defectos en la superficie total será:
Pero sabemos que en realidad en cada zona podrían aparecer
más de 1 defecto. Esto hace inexacto nuestro cálculo.
Podríamos hacer el cálculo más exacto si
subdividimos las zonas:
Dividimos cada zona en 4 y ahora tenemos 16 zonas. La probabilidad
de tener 1 defecto en una zona es p/16 con lo que podemos entonces
calcular la probabilidad de tener 0, 1, 2, 3, ...., 16 defectos
en el área total:
Y el promedio de defectos en la superficie resulta ser el mismo
que antes:
Aún así podrían aparecer más defectos
por zona, por lo que si dividimos nuevamente cada zona en 4
tendríamos 64 zonas y ahora la probabilidad de tener
1 defecto en una zona sería p/64
La probabilidad de tener 0, 1, 2, 3, ....., 64 defectos en la
superficie total sería:
Y nuevamente el promedio de defectos en la superficie es p.
Lo que estamos haciendo es ir aumentando n
al mismo tiempo que disminuye p en
igual proporción y de ese modo, el promedio de defectos
en la superficie total n.p se mantiene
constante. Como vimos, al suponer que en cada subzona sólo
puede haber 1 defecto o ningún defecto estamos cometiendo
un error. Este error se hace cada vez menor, porque a medida
que subdividimos el area total se hace menos probable que en
una subzona aparezca más de un defecto. Si continuamos
subdividiendo el área indefinidamente, la fórmula
binomial nos dará la probabilidad de obtener 0, 1, 2,
3, ... n defectos, con n
tendiendo a infinito.
En el límite, la fórmula binomial tiende a la
fórmula de Poisson:
donde x es la variable aleatoria y λ
el parámetro de la distribución de Poisson. En
el límite, el producto de n
por p, , es igual al parámetro
de la distribución: 
El número de defectos x en la superficie total es una
variable aleatoria discreta que puede tomar valores 0, 1, 2,
3, 4, ... y cuya distribución de probabilidades se conoce
como Distribución de Poisson.
Se puede observar que la curva de la función de Poisson
es asimétrica, como la binomial. El promedio y la varianza
de esta variable aleatoria son iguales al parámetro de
la distribución:
Por lo que, la desviación standard es:
La distribución de Poisson tiene una propiedad cuyas
consecuencias son muy importantes para el Control Estadístico
de Procesos. Supongamos que se tienen m
variables aleatorias de Poisson:
Si w es una combinación lineal
de tales variables:
Entonces w es una variable aleatoria
de Poisson con parámetro:
Esto es muy importante porque podemos imaginar el producto fabricado
por un proceso (Una licuadora, una computadora, un televisor,
etc.) como una superficie en la que se pueden producir múltiples
defectos, y donde el número de cada tipo de defecto es
una variable aleatoria de Poisson. Entonces, la propiedad mencionada
nos permite tratar la suma de todos los tipos de defectos como
una variable aleatoria de Poisson. Esto se utiliza para el control
del Número de Defectos en un producto (Gráficos
C).
Supongamos ahora que tenemos un gran lote de artefactos, por
ejemplo licuadoras. Tomamos una muestra de m
= 5 unidades y medimos el número total de defectos en
las 5 unidades. Si obtuvimos x1, x2, x3,
... xm defectos en cada unidad, el número
total de defectos será:
El número promedio de defectos por unidad será:
y es una variable aleatoria discreta
que puede tomar valores 0, 1/m, 2/m,
3/m, ... etc. ¿Cuál
es la varianza de y?
La varianza de xi es
λ
cualquiera que sea el subindice i, porque todas las xi
tienen la misma distribución; por lo tanto:
Este es un importante resultado que se utilizará para
calcular la varianza en los Gráficos U.
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