CAPÍTULO 4.- FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN
DE PROBABILIDADES
La
distribución normal
La Distribución T
de Student
Distribución
binomial
Una persona arroja un dado apostando con otra a que saca un
as (un 1). La probabilidad de sacar el as es igual a:
Es decir que la probabilidad que tiene de acertar es 17 % aproximadamente.
Ahora, supongamos que la persona arroja 5 dados iguales a la
vez. ¿Cuál es la probabilidad de que saque 0,
1, 2, 3... unos?.
Cuando realizamos una experiencia individual donde el resultado
debe ser sólo uno de dos posibles: acierto/fallo, cara/cruz,
etc. decimos que es un ensayo de Bernouilli.
¿Es
tan probable sacar 1 ó 2 ases como sacar 5 ases?.
A priori parecería que no. En nuestro caso, cada
vez que arrojamos un dado podemos definir nuestro experimento
registrando sólo dos resultados posibles: |
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Cada acto individual de arrojar un dado es independiente de
los otros y las probabilidades de obtener un as o de no obtener
ninguno, son, respectivamente :
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Por
lo que, cuando arrojamos 5 dados, la probabilidad de obtener
5 ases es: |
Y la probabilidad de no obtener ningún As en los 5 dados
arrojados es:
Nos falta calcular las probabilidades intermedias, es decir
la probabilidad de obtener 1, 2, 3...ases. Es posible calcular
todas estas probabilidades con una fórmula binomial.
¿Cuál es la probabilidad de sacar un As al arrojar
cinco dados? Por ejemplo, una forma es que salga un As en el
primer dado.
La probabilidad de sacar 1 As en el primer dado y no sacar As
en los otros cuatro es:
Pero hay 5 formas diferentes de obtener 1 As en cinco dados
arrojados: que se obtenga en el 1º de los dado, o en el
2º o en el 3º o en el 4º o en el 5º.
Por lo tanto, la probabilidad de sacar 1 As al arrojar 5 dados
es:
¿Cómo podemos generalizar el cálculo de
las distintas formas de obtener 1 As, 2 Ases, etc. en cinco
dados arrojados? La respuesta la dan los números combinatorios:
 ;
donde : m! = 1*2*3*…*m y n! = 1*2*3*…*n
son el factorial de m y de n respectivamente.
La expresión representa el número de combinaciones
de m elementos tomados de n en n (agrupados de n en n).
Por ejemplo, si tenemos las 5 letras A, B, C, D y E, y queremos
saber cuantas son todas las combinaciones posibles agrupándolas
de a tres en cualquier orden: ABC, ADC,...etc., tenemos :
Y las distintas combinaciones son :
ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE
Supongamos que se realizan n ensayos de Bernoulli, con probabilidad
p de tener un acierto, ó (1-p) de tener un fallo. Entonces,
la probabilidad de obtener y aciertos en n ensayos de Bernouilli
es:
Esta probabilidad es un término del binomio siguiente:
 ,
donde p+q = 1
Los términos de la suma son las probabilidades P(y),
que determinan la distribución de probabilidades de la
variable aleatoria y, la cual es una variable discreta (toma
los valores 0, 1, 2, ...etc.). Aplicando la fórmula al
caso de 5 dados:
Las probabilidades de no sacar ningún As o de sacar uno,
dos, tres, cuatro o cinco, son :
¿Cuáles son los parámetros estadísticos
de la variable aleatoria Y ?
La media es:  ;
la varianza es:  ,
y, finalmente, la desviación standard resulta: 
En la experiencia de arrojar 5 dados: 
¿Cómo interpretamos este resultado? Si bien el
promedio resulta un valor fraccionario, nos está diciendo
que al arrojar los cinco dados estaremos más cerca de
sacar 1 As que de sacar 2 o más ases. De una manera más
rigurosa, ese valor nos dice que si se repitiera la experiencia
muchas veces, el promedio del número de ases que se obtendría
en todos los experimentos sería igual a 0.83
La varianza de Y resulta ser 
y la desviación standard:
Volvamos, ahora a nuestro jugador. Supongamos que arroja 5 dados
y apuesta a que va a sacar 3 o más ases, ¿cuál
es la probabilidad que tiene de ganar?
Esta probabilidad es la suma de los términos del binomio
para 3, 4 y 5 aciertos (ases), es decir:
Lo que significa una probabilidad de ganar de aproximadamente
el 3,5 %.
Distribución de Poisson
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