CONCEPTOS ESTADÍSTICOS BÁSICOS

CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

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CAPÍTULO 4.- FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

La distribución normal

La Distribución T de Student

Distribución binomial


Una persona arroja un dado apostando con otra a que saca un as (un 1). La probabilidad de sacar el as es igual a:
    \( \displaystyle \frac{1}{6} = 0,1666... \)
Es decir que la probabilidad que tiene de acertar es 17 % aproximadamente. Ahora, supongamos que la persona arroja 5 dados iguales a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que saque 0, 1, 2, 3... unos?.

Cuando realizamos una experiencia individual donde el resultado debe ser sólo uno de dos posibles: acierto/fallo, cara/cruz, etc. decimos que es un ensayo de Bernouilli.
¿Es tan probable sacar 1 ó 2 ases como sacar 5 ases?. A priori parecería que no. En nuestro caso, cada vez que arrojamos un dado podemos definir nuestro experimento registrando sólo dos resultados posibles: experimento aleatorio
Cada acto individual de arrojar un dado es independiente de los otros y las probabilidades de obtener un as o de no obtener ninguno, son, respectivamente :
experimento aleatorioexperimento aleatorio Por lo que, cuando arrojamos 5 dados, la probabilidad de obtener 5 ases es:

    \( \displaystyle P(5\; ases) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{1}{6}\times \frac{1}{6}\times \frac{1}{6}\approx 0,00013 \)
Y la probabilidad de no obtener ningún As en los 5 dados arrojados es:
    \( \displaystyle P(0\; ases) = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6}\times \frac{5}{6}\times \frac{5}{6}\approx 0,402 \)
Nos falta calcular las probabilidades intermedias, es decir la probabilidad de obtener 1, 2, 3...ases. Es posible calcular todas estas probabilidades con una fórmula binomial. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un As al arrojar cinco dados? Por ejemplo, una forma es que salga un As en el primer dado.

La probabilidad de sacar 1 As en el primer dado y no sacar As en los otros cuatro es:
    \( \displaystyle P(1\; as) = \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6}\times \frac{5}{6}\times \frac{5}{6}\approx 0,080 \)
Pero hay 5 formas diferentes de obtener 1 As en cinco dados arrojados: que se obtenga en el 1º de los dado, o en el 2º o en el 3º o en el 4º o en el 5º.

Por lo tanto, la probabilidad de sacar 1 As al arrojar 5 dados es:
    \( \displaystyle P(1\; as) = 5 \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6}\times \frac{5}{6}\times \frac{5}{6}\approx 0,402 \)
¿Cómo podemos generalizar el cálculo de las distintas formas de obtener 1 As, 2 Ases, etc. en cinco dados arrojados? La respuesta la dan los números combinatorios:
    \( \displaystyle \left( \begin{array}{c} m \\ \\ n \\ \end{array} \right) = \frac{m!}{n!(m-n)!} \quad ; \quad \textrm{ donde } : m! = 1\ast 2 \ast 3 \ast \cdots \ast m \; y \; n! = 1\ast 2 \ast 3 \ast \cdots \ast n \)
son el factorial de m y de n respectivamente.

La expresión representa el número de combinaciones de m elementos tomados de n en n (agrupados de n en n).

Por ejemplo, si tenemos las 5 letras A, B, C, D y E, y queremos saber cuantas son todas las combinaciones posibles agrupándolas de a tres en cualquier orden: ABC, ADC,...etc., tenemos :
    \( \displaystyle \left( \begin{array}{c} 5 \\ \\ 3 \\ \end{array} \right) = \frac{5!}{3!(5-3)!} = 10 \)
Y las distintas combinaciones son :
    ABC, ABD, ABE, ACD, ACE, ADE, BCD, BCE, BDE, CDE
Supongamos que se realizan n ensayos de Bernoulli, con probabilidad p de tener un acierto, ó (1-p) de tener un fallo. Entonces, la probabilidad de obtener y aciertos en n ensayos de Bernouilli es:
    \( \displaystyle P(y) = \left( \begin{array}{c} n \\ \\ y \\ \end{array} \right)p^y q^{n-y} = \frac{n!}{y!(n-y)!} p^y q^{n-y} \)
Esta probabilidad es un término del binomio siguiente:
    \( \displaystyle (p+q)^n = \sum \limits_{y=0}^n \left( \begin{array}{c} 5 \\ \\ 3 \\ \end{array} \right)p^y q^{n-y} \qquad \textrm{ donde } p+q = 1 \)
Los términos de la suma son las probabilidades P(y), que determinan la distribución de probabilidades de la variable aleatoria y, la cual es una variable discreta (toma los valores 0, 1, 2, ...etc.). Aplicando la fórmula al caso de 5 dados:
    \( \displaystyle P(y) = \left( \begin{array}{c} 5 \\ \\ y \\ \end{array} \right) \left(\frac{1}{6}\right)^y \left(\frac{5}{6}\right)^{5-y} = \frac{5!}{y!(5-y)!} \left(\frac{1}{6}\right)^y \left( \frac{5}{6}\right)^{5-y} \)
Las probabilidades de no sacar ningún As o de sacar uno, dos, tres, cuatro o cinco, son :
    \( \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline y & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline P & 0,402 & 0,402 & 0,161 & 0,132 & 0,003 & 0,0001 \\ \hline \end{array} \)
¿Cuáles son los parámetros estadísticos de la variable aleatoria Y ?

La media es: \( \bar{y} = np \) ; la varianza es: \( \sigma^2 = npq \), y, finalmente, la desviación standard resulta: \( \sigma = \sqrt{npq} \).

En la experiencia de arrojar 5 dados: \( \bar{y} = 5 \times (1/6) = 0,83 \).

¿Cómo interpretamos este resultado? Si bien el promedio resulta un valor fraccionario, nos está diciendo que al arrojar los cinco dados estaremos más cerca de sacar 1 As que de sacar 2 o más ases. De una manera más rigurosa, ese valor nos dice que si se repitiera la experiencia muchas veces, el promedio del número de ases que se obtendría en todos los experimentos sería igual a 0.83
La varianza del ensayo y la desviación estandar resultan ser
    \( \displaystyle \sigma^2 = 5 \ast \left(\frac{1}{6}\right)\ast \left (\frac{5}{6}\right) = 0,69 \quad ; \quad \sigma =\sqrt{ 5 \ast \left(\frac{1}{6}\right)\ast \left (\frac{5}{6}\right)} = 0,83 \)
Volvamos, ahora a nuestro jugador. Supongamos que arroja 5 dados y apuesta a que va a sacar 3 o más ases, ¿cuál es la probabilidad que tiene de ganar?

Esta probabilidad es la suma de los términos del binomio para 3, 4 y 5 aciertos (ases), es decir:
    \( \displaystyle P(y\geq3) = \sum \limits_{y=0}^n \left( \begin{array}{c} 5 \\ \\ y \\ \end{array} \right) \left(\frac{1}{6}\right)^y \left (\frac{5}{6}\right)^{5-y} = \frac{5!}{y!(5-y)!} \left( \frac{1}{6} \right)^y \left(\frac{5}{6}\right)^{5-y} \approx 0,035 \)
Lo que significa una probabilidad de ganar de aproximadamente el 3,5 %.

MANUAL DE CALIDAD - CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

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tema escrito por: José Antonio Hervás