CAPÍTULO 4.- FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN
DE PROBABILIDADES
La
distribución normal
La Distribución T de Student
En la generalidad de los casos, no disponemos de la desviación
standard de la población, sino de una estimación
calculada a partir de una muestra extraída de la misma
y por lo tanto no podemos calcular Z.
En
estos casos calculamos el estadístico T:
con
|
 |
donde S es la desviación standard muestral, calculada
con n-1 grados de libertad.
Nótese que utilizamos S, la Desviación Standard
de una Muestra, en lugar de μ, la
Desviación Standard de la Población.
El estadístico T tiene una distribución que se
denomina distribución T de Student, que está tabulada
para 1, 2, 3, ... etc. grados de libertad de la muestra con
la cual se calculó la desviación standard. La
distribución T tiene en cuenta la incertidumbre en la
estimación de la desviación standard de la población,
porque en realidad la tabla de T contiene las distribuciones
de probabilidades para distintos grados de libertad.
La distribución T es mas ancha que la distribución
normal tipificada Para un número de grados de libertad
pequeño. Cuando los grados de libertad tienden a infinito,
la distribución T tiende a coincidir con la distribución
normal standard. Es decir, en la medida que aumentemos el número
de observaciones de la muestra, la desviación standard
calculada estará mas próxima a la desviación
standard de la población y entonces la distribución
T correspondiente se acerca a la distribución normal
standard. El uso de la distribución T presupone que la
población con que estamos trabajando tiene una distribución
normal.
Distribución de Promedios Muestrales
Para comprender que significa distribución de promedios
muestrales, vamos a suponer que realizamos un experimento con
bombos como los usados en la lotería. Colocamos un número
muy grande de bolas blancas en un bombo blanco, en cada una
de las cuales figura un dato X. Este bombo representa la población
de observaciones X, y tiene media m y varianza s2. Supongamos
que a continuación hacemos los siguiente:
1) Tomamos una muestra de n=10 bolas blancas.
2) Calculamos la media y la anotamos en una bola azul.
3) Colocamos la bola azul en un segundo bombo de color azul.
4) Devolvemos las bolas blancas a su bombo y le damos vueltas.
5)Repetimos toda la operación muchas veces hasta que
el bombo azul esté lleno de bolas azules.
Entonces, los números del bombo azul forman una población
de promedios muestrales. Esta es una población derivada
de la anterior, y tiene la misma media o promedio que la distribución
original, pero su varianza es un enésimo de la varianza
de la distribución original:
En el caso del bombo azul, si denominamos 
a la varianza y μm
a la media, tenemos:
La distribución de medias muestrales está situada
en el mismo lugar (alrededor de la misma media) que la distribución
original, pero es mucho mas estrecha, porque su varianza es
la décima parte de la varianza original. La distribución
original de observaciones representada por el bombo blanco se
denomina comúnmente distribución madre o base.
Al construir la población de promedios muestrales, realizábamos
extracciones de 10 bolas blancas después de dar vueltas
al bombo. Es decir, que estábamos realizando un muestreo
aleatorio de la población madre, porque cada una de las
bolas blancas tenía la misma posibilidad de ser elegida
para integrar la muestra. Aunque la población original
no sea de distribución normal, si el muestreo es aleatorio,
la población de promedios muestrales se aproximará
a la normalidad, es decir, será casi de distribución
normal. Este efecto se debe a un teorema de estadística
matemática denominado Teorema Central del Límite.
En resumen, si se cumple la hipótesis de muestreo aleatorio,
tenemos:
En general, en los problemas que se presentan habitualmente,
existe una población de observaciones cualesquiera, de
la cual tomamos una muestra aleatoria, por medio de la cual
intentamos conocer todo lo que sea posible acerca de la población
de la cual fue extraída. El promedio de la muestra de
n elementos pertenece a la distribución de promedios
muestrales de la población original. Es decir, que el
promedio de la muestra que obtuvimos es uno de los muchos promedios
muestrales que se distribuyen alrededor de m con desviación
standard.
Por lo tanto, si la muestra es mas grande (n mayor), estaremos
en una distribución de promedios con desviación
standard mas pequeña, por lo cual, el promedio de la
muestra estará mas cerca del promedio del universo. Es
por esto que es razonable pensar que el promedio de la muestra
es una estimación del promedio del universo.
La Distribución binomial
Distribución
de Poisson
|
|