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CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

 

CAPÍTULO 4.- FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

La distribución normal

La Distribución T de Student


En la generalidad de los casos, no disponemos de la desviación standard de la población, sino de una estimación calculada a partir de una muestra extraída de la misma y por lo tanto no podemos calcular Z.
En estos casos calculamos el estadístico T:
    \( \displaystyle T = \frac{\mu - x}{s} \)
con
    \( \displaystyle s = \sqrt{\frac{\sum(x-x_i)^2}{n-1}} \)

gráfico de distribución T de Student
donde S es la desviación standard muestral, calculada con n-1 grados de libertad.

Nótese que utilizamos S, la Desviación Standard de una Muestra, en lugar de μ, la Desviación Standard de la Población.

El estadístico T tiene una distribución que se denomina distribución T de Student, que está tabulada para 1, 2, 3, ... etc. grados de libertad de la muestra con la cual se calculó la desviación standard. La distribución T tiene en cuenta la incertidumbre en la estimación de la desviación standard de la población, porque en realidad la tabla de T contiene las distribuciones de probabilidades para distintos grados de libertad.

La distribución T es mas ancha que la distribución normal tipificada Para un número de grados de libertad pequeño. Cuando los grados de libertad tienden a infinito, la distribución T tiende a coincidir con la distribución normal standard. Es decir, en la medida que aumentemos el número de observaciones de la muestra, la desviación standard calculada estará mas próxima a la desviación standard de la población y entonces la distribución T correspondiente se acerca a la distribución normal standard. El uso de la distribución T presupone que la población con que estamos trabajando tiene una distribución normal.

Distribución de Promedios Muestrales

Para comprender que significa distribución de promedios muestrales, vamos a suponer que realizamos un experimento con bombos como los usados en la lotería. Colocamos un número muy grande de bolas blancas en un bombo blanco, en cada una de las cuales figura un dato X. Este bombo representa la población de observaciones X, y tiene media m y varianza s2. Supongamos que a continuación hacemos los siguiente:
    1) Tomamos una muestra de n=10 bolas blancas.

    2) Calculamos la media y la anotamos en una bola azul.

    3) Colocamos la bola azul en un segundo bombo de color azul.

    4) Devolvemos las bolas blancas a su bombo y le damos vueltas.

    5)Repetimos toda la operación muchas veces hasta que el bombo azul esté lleno de bolas azules.
Entonces, los números del bombo azul forman una población de promedios muestrales. Esta es una población derivada de la anterior, y tiene la misma media o promedio que la distribución original, pero su varianza es un enésimo de la varianza de la distribución original:
    \( \displaystyle V(\overline{X}) = \frac{\sigma^2}{n} \)
En el caso del bombo azul, si denominamos \( \sigma_m^2 \) a la varianza y μm a la media, tenemos:
    \( \displaystyle \mu_m = \mu \qquad y \qquad \sigma_m^2 = \frac{\sigma^2}{10} \)
La distribución de medias muestrales está situada en el mismo lugar (alrededor de la misma media) que la distribución original, pero es mucho mas estrecha, porque su varianza es la décima parte de la varianza original. La distribución original de observaciones representada por el bombo blanco se denomina comúnmente distribución madre o base. Al construir la población de promedios muestrales, realizábamos extracciones de 10 bolas blancas después de dar vueltas al bombo. Es decir, que estábamos realizando un muestreo aleatorio de la población madre, porque cada una de las bolas blancas tenía la misma posibilidad de ser elegida para integrar la muestra. Aunque la población original no sea de distribución normal, si el muestreo es aleatorio, la población de promedios muestrales se aproximará a la normalidad, es decir, será casi de distribución normal. Este efecto se debe a un teorema de estadística matemática denominado Teorema Central del Límite. En resumen, si se cumple la hipótesis de muestreo aleatorio, tenemos:
    \( \begin{array}{|c|c|c|} \hline & \textrm{distribucion de } x & \textrm{distribucion de } \bar{x} \\ \hline \textrm{media} & m & m \\ \hline \textrm{Varianza} & s^2 & \sigma^2/n \\ \hline \textrm{Desv. Standard} & s & \sigma/\sqrt{n}\\ \hline \textrm{Forma de la curva} & cualquiera & \begin{array}{c} mas \; cerca \\ de \;la \; normal \end{array} \\ \hline \end{array} \)
En general, en los problemas que se presentan habitualmente, existe una población de observaciones cualesquiera, de la cual tomamos una muestra aleatoria, por medio de la cual intentamos conocer todo lo que sea posible acerca de la población de la cual fue extraída. El promedio de la muestra de n elementos pertenece a la distribución de promedios muestrales de la población original. Es decir, que el promedio de la muestra que obtuvimos es uno de los muchos promedios muestrales que se distribuyen alrededor de m con desviación standard.
Por lo tanto, si la muestra es mas grande (n mayor), estaremos en una distribución de promedios con desviación standard mas pequeña, por lo cual, el promedio de la muestra estará mas cerca del promedio del universo. Es por esto que es razonable pensar que el promedio de la muestra es una estimación del promedio del universo.

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tema escrito por: José Antonio Hervás