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CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

 

CAPÍTULO 4.- FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES

Hemos visto como se construye un gráfico de frecuencias con datos extraídos de una población. A medida que aumentamos la cantidad de observaciones que tomamos de la población, podemos construir nuestro gráfico con un número mayor de intervalos, aunque de menor amplitud (El rango total cubierto por la población es el mismo).
distribución de frecuencias Si continuamos este proceso, con intervalos cada vez mas estrechos y numerosos, los altibajos en el gráfico de la distribución de frecuencias tienden a desaparecer.

En el límite, el ancho del intervalo tiende a cero y la población puede representarse por una distribución de probabilidad continua.

Cuando, para representar esta distribución de probabilidad continua se utiliza una función matemática, esta se denomina Función de Densidad de Probabilidad.
La forma de la curva en el gráfico de la función de distribución es característica de la población de observaciones asociada con la misma, y depende de variables internas del proceso que generó los datos de la población.Existen distintas funciones de distribución teóricas, cada una de las cuales está basada en un modelo de comportamiento del proceso que generó el universo de observaciones.
La aplicación de una de estas distribuciones teóricas a una población particular está justificada si las hipótesis (suposiciones) del modelo de comportamiento del proceso que generó la población se cumplen. Dicho de otro modo, si conocemos el proceso, es decir, el conjunto de fenómenos que dieron lugar a nuestra población de mediciones u observaciones, y además estamos seguros de que el mismo se ajusta a un modelo de comportamiento determinado, entonces podemos decir que la distribución de probabilidades de nuestra población es la que corresponde al modelo. distribución de frecuencias
En la práctica, se sabe que ciertos procesos y fenómenos generan resultados numéricos cuya distribución de probabilidades se puede ajustar a determinados modelos teóricos. Por ejemplo, el número de partículas alfa emitidas por un material radiactivo sigue una distribución de Poisson.
Existen muchas otras distribuciones teóricas, como la Binomial, la Exponencial, la de Weisbull, etc. Cada una de ellas tiene su propio campo de aplicación, que se sostiene en un determinado comportamiento de los fenómenos, y al aplicarla se está haciendo en forma implícita la suposición de que se cumplen las suposiciones del modelo subyacente.
La Distribución Normal

Una distribución muy importante es la Distribución Normal o de Gauss. La ecuación matemática de la función de Gauss es la siguiente:
    \( \displaystyle P(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}ˇ e^{-\frac{(\mu - x)^2}{2 \sigma^2}} \)
La distribución normal es una curva con forma de campana, con eje de simetría en el punto correspondiente al promedio del universo μ.
grafico de distribución normal
La distancia entre el eje de simetría de la campana y el punto de inflexión de la curva es igual a σ, la desviación standard de la población.

El área total debajo de la curva es igual a 1. El área debajo de la curva comprendida entre μ - σ y μ + σ es aproximadamente igual a 0,68 del área total; entre μ - 2σ y μ + 2σ es aproximadamente igual a 0,95 del área total:
Es importante ver que los únicos parámetros necesarios para dibujar el gráfico de la distribución normal son y (Media y desviación standard de la población). Con estos dos parámetros sabemos donde situar la campana de Gauss (En el punto correspondiente a la media) y cual es su ancho (Determinado por la desviación standard).
Cuando nos encontramos con una población de observaciones, si podemos afirmar que la distribución correspondiente es normal, sólo hace falta estimar la media y la desviación standard para tener toda la información necesaria acerca de dicha población.

La Distribución Normal Standard

Podemos escribir la fórmula de la distribución normal de la siguiente manera:
    \( \displaystyle P(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}ˇ e^{-\frac{(\mu - x)^2}{2 \sigma^2}} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} ˇ e^{-\frac{1}{2}ˇ z^2} \qquad con \qquad z = \frac{\mu - x}{\sigma} \)
Esta es la fórmula de la Distribución Normal Standard o Tipificada. Como podemos observar, en ella hay un sólo parámetro, Z, que incluye al promedio y la desviación standard de la población. Esta función está tabulada.
distribución normal Al calcular Z, lo que estamos haciendo, en realidad, es un cambio de variable por el cual movemos la campana de Gauss centrándola en el 0 del eje X, y modificamos el ancho para que la desviación standard sea 1.

De esta manera tenemos tabulada una función de Gauss que no depende de cual sea el promedio y la desviación standard de nuestra población real. El cambio de variable hace que se conserve la forma de la función y que sirva para cualquier población, siempre y cuando esa población tenga una distribución normal.
Cuando queremos calcular las probabilidades para una población real, calculamos Z y entramos en la tabla de la función normal estandard.

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tema escrito por: José Antonio Hervás