CAPÍTULO 4.- FUNCIONES DE
DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADES
Hemos visto como se construye un gráfico de frecuencias
con datos extraídos de una población. A medida
que aumentamos la cantidad de observaciones que tomamos de la
población, podemos construir nuestro gráfico con
un número mayor de intervalos, aunque de menor amplitud
(El rango total cubierto por la población es el mismo).
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Si continuamos este proceso, con intervalos cada vez mas estrechos
y numerosos, los altibajos en el gráfico de la distribución
de frecuencias tienden a desaparecer.
En el límite, el ancho del intervalo tiende a cero y
la población puede representarse por una distribución
de probabilidad continua.
Cuando, para representar esta distribución de probabilidad
continua se utiliza una función matemática, esta
se denomina Función de Densidad de Probabilidad. |
| La forma de la curva en el gráfico de la
función de distribución es característica
de la población de observaciones asociada con la misma,
y depende de variables internas del proceso que generó
los datos de la población.Existen distintas funciones
de distribución teóricas, cada una de las cuales
está basada en un modelo de comportamiento del proceso
que generó el universo de observaciones. |
| La aplicación de una de estas distribuciones teóricas
a una población particular está justificada si
las hipótesis (suposiciones) del modelo de comportamiento
del proceso que generó la población se cumplen.
Dicho de otro modo, si conocemos el proceso, es decir, el conjunto
de fenómenos que dieron lugar a nuestra población
de mediciones u observaciones, y además estamos seguros
de que el mismo se ajusta a un modelo de comportamiento determinado,
entonces podemos decir que la distribución de probabilidades
de nuestra población es la que corresponde al modelo. |
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En la práctica, se sabe que ciertos procesos
y fenómenos generan resultados numéricos cuya
distribución de probabilidades se puede ajustar a determinados
modelos teóricos. Por ejemplo, el número de partículas
alfa emitidas por un material radiactivo sigue una distribución
de Poisson.
Existen muchas otras distribuciones teóricas, como la
Binomial, la Exponencial, la de Weisbull, etc. Cada una de ellas
tiene su propio campo de aplicación, que se sostiene
en un determinado comportamiento de los fenómenos, y
al aplicarla se está haciendo en forma implícita
la suposición de que se cumplen las suposiciones del
modelo subyacente.
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La Distribución Normal
Una distribución muy importante es la Distribución
Normal o de Gauss. La ecuación matemática de la
función de Gauss es la siguiente:
\( \displaystyle P(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}ˇ
e^{-\frac{(\mu - x)^2}{2 \sigma^2}} \)
La distribución normal es una curva con forma de campana,
con eje de simetría en el punto correspondiente al promedio
del universo μ.
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La distancia entre el eje de simetría
de la campana y el punto de inflexión de la curva es
igual a σ, la desviación standard de la población.
El área total debajo de la curva es igual a 1. El área
debajo de la curva comprendida entre μ - σ y μ +
σ es aproximadamente igual a 0,68 del área total;
entre μ - 2σ y μ + 2σ es aproximadamente igual
a 0,95 del área total:
Es importante ver que los únicos parámetros necesarios
para dibujar el gráfico de la distribución normal
son y (Media y desviación standard de la población).
Con estos dos parámetros sabemos donde situar la campana
de Gauss (En el punto correspondiente a la media) y cual es
su ancho (Determinado por la desviación standard).
Cuando nos encontramos con una población de observaciones,
si podemos afirmar que la distribución correspondiente
es normal, sólo hace falta estimar la media y la desviación
standard para tener toda la información necesaria acerca
de dicha población.
La Distribución
Normal Standard
Podemos escribir la fórmula de la distribución
normal de la siguiente manera:
\( \displaystyle P(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma}ˇ
e^{-\frac{(\mu - x)^2}{2 \sigma^2}} = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}}
ˇ e^{-\frac{1}{2}ˇ z^2} \qquad con \qquad z = \frac{\mu
- x}{\sigma} \)
Esta es la fórmula de la Distribución Normal Standard
o Tipificada. Como podemos observar, en ella hay un sólo
parámetro, Z, que incluye al promedio y la desviación
standard de la población. Esta función está
tabulada.
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Al calcular Z, lo que estamos haciendo, en realidad, es un
cambio de variable por el cual movemos la campana de Gauss centrándola
en el 0 del eje X, y modificamos el ancho para que la desviación
standard sea 1.
De esta manera tenemos tabulada una función de Gauss
que no depende de cual sea el promedio y la desviación
standard de nuestra población real. El cambio de variable
hace que se conserve la forma de la función y que sirva
para cualquier población, siempre y cuando esa población
tenga una distribución normal. |
Cuando queremos calcular las probabilidades para una población
real, calculamos Z y entramos en la tabla de la función
normal estandard.
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