CAPÍTULO 4.- FUNCIONES DE DISTRIBUCIÓN
DE PROBABILIDADES
Hemos visto como se construye un gráfico de frecuencias
con datos extraídos de una población. A medida
que aumentamos la cantidad de observaciones que tomamos de la
población, podemos construir nuestro gráfico con
un número mayor de intervalos, aunque de menor amplitud
(El rango total cubierto por la población es el mismo).
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Si
continuamos este proceso, con intervalos cada vez mas
estrechos y numerosos, los altibajos en el gráfico
de la distribución de frecuencias tienden a desaparecer.
En el límite, el ancho del intervalo tiende a
cero y la población puede representarse por una
distribución de probabilidad continua. |
Cuando, para
representar esta distribución de probabilidad continua
se utiliza una función matemática, esta se denomina
Función de Densidad de Probabilidad.
La forma de la curva en el gráfico de la función
de distribución es característica de la
población de observaciones asociada con la misma,
y depende de variables internas del proceso que generó
los datos de la población.Existen distintas funciones
de distribución teóricas, cada una de
las cuales está basada en un modelo de comportamiento
del proceso que generó el universo de observaciones. |
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La aplicación
de una de estas distribuciones teóricas a una población
particular está justificada si las hipótesis (suposiciones)
del modelo de comportamiento del proceso que generó la
población se cumplen. Dicho de otro modo, si conocemos
el proceso, es decir, el conjunto de fenómenos que dieron
lugar a nuestra población de mediciones u observaciones,
y además estamos seguros de que el mismo se ajusta a
un modelo de comportamiento determinado, entonces podemos decir
que la distribución de probabilidades de nuestra población
es la que corresponde al modelo.
En la práctica, se sabe que ciertos procesos y fenómenos
generan resultados numéricos cuya distribución
de probabilidades se puede ajustar a determinados modelos teóricos.
Por ejemplo, el número de partículas alfa emitidas
por un material radiactivo sigue una distribución de
Poisson.
Existen muchas otras distribuciones teóricas, como la
Binomial, la Exponencial, la de Weisbull, etc. Cada una de ellas
tiene su propio campo de aplicación, que se sostiene
en un determinado comportamiento de los fenómenos, y
al aplicarla se está haciendo en forma implícita
la suposición de que se cumplen las suposiciones del
modelo subyacente.
La Distribución Normal
Una distribución muy importante es la Distribución
Normal o de Gauss.
La ecuación matemática de la función
de Gauss es la siguiente:
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La distribución normal es una curva con forma de campana,
con eje de simetría en el punto correspondiente al promedio
del universo μ. La distancia entre
el eje de simetría de la campana y el punto de inflexión
de la curva es igual a σ, la desviación
standard de la población.
El área total debajo de la curva es igual a 1. El área
debajo de la curva comprendida entre μ - σ y μ + σ es aproximadamente
igual a 0,68 del área total; entre μ - 2σ y μ + 2σ es aproximadamente
igual a 0,95 del área total:
Es importante ver que los únicos parámetros necesarios
para dibujar el gráfico de la distribución normal
son y (Media y desviación standard de la población).
Con estos dos parámetros sabemos donde situar la campana
de Gauss (En el punto correspondiente a la media) y cual es
su ancho (Determinado por la desviación standard).
Cuando nos encontramos con una población de observaciones,
si podemos afirmar que la distribución correspondiente
es normal, sólo hace falta estimar la media y la desviación
standard para tener toda la información necesaria acerca
de dicha población.
La Distribución Normal Standard
Podemos escribir la fórmula de la distribución
normal de la siguiente manera:
con 
Esta es la fórmula de la Distribución Normal Standard
o Tipificada. Como podemos observar, en ella hay un sólo
parámetro, Z, que incluye al promedio y la desviación
standard de la población. Esta función está
tabulada.
Al calcular Z, lo que estamos haciendo, en realidad, es un cambio
de variable por el cual movemos la campana de Gauss centrándola
en el 0 del eje X, y modificamos el ancho para que la desviación
standard sea 1.
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De
esta manera tenemos tabulada una función de Gauss
que no depende de cual sea el promedio y la desviación
standard de nuestra población real. El cambio
de variable hace que se conserve la forma de la función
y que sirva para cualquier población, siempre
y cuando esa población tenga una distribución
normal. |
Cuando queremos calcular las probabilidades para una población
real, calculamos Z y entramos en la tabla de la función
normal estandard.
La Distribución T
de Student
La
Distribución binomial
Distribución
de Poisson
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