CAPÍULO
1.- INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD
Cada vez que realizamos un cálculo matemático
para resolver un problema físico, estamos aplicando
un modelo matemático a un fenómeno de la realidad.
Este fenómeno puede ser, por ejemplo, la caída
de un objeto desde cierta altura, y en este caso utilizamos
un modelo que es la Ley de Gravedad.
¿Qué es un modelo?. Al enfrentar un problema
de física, química, ingeniería, etc.,
estamos analizando e investigando una parte o aspecto de
la realidad material que nos rodea. Para resolver el problema,
necesitamos modelar esa realidad, es decir, construir una
representación en la mente de cómo ocurren
los hechos, junto con ecuaciones matemáticas que
permitan calcular los efectos de los mismos.
En ningún caso se debe confundir modelo con realidad.
Un modelo es sólo una representación de la
realidad, utilizado para estudiar y analizar dicha realidad.
Hay modelos matemáticos que nos permiten obtener
un resultado numérico preciso, por ejemplo, que la
velocidad de un automóvil es de 175,5 Km/Hora. O
que la corriente eléctrica que circula por un cable
es de 5,7 Amperios. Este tipo de modelos matemáticos
se denominan Determinísticos.
Existen también fenómenos que necesitan otro
tipo de modelos matemáticos, denominados no determinísticos,
probabilísticos o estocásticos.
Por ejemplo, supongamos que se ha previsto la realización
de unas pruebas balísticas para las que se necesita
saber la cantidad de lluvia que va a caer en un próximo
periodo de tiempo, antes de decidir la forma de llevar a
cabo los ensayos. El Técnico responsable podrá
informarse en el servicio meteorológico en relación
con la presión barométrica, la temperatura,
velocidad del viento y otros datos meteorológicos,
sin embargo, no hay una ecuación que con todos esos
datos le permita calcular de forma precisa los milímetros
de lluvia que van a caer durante el periodo de tiempo que
le interesa.
De la misma forma, ningún operador puede calcular
cuanto va a subir la Bolsa, ni siquiera si va a subir o
bajar, aún cuando tenga a su alcance todas las variables
económicas disponibles.
Este tipo de fenómenos no admiten un modelo determinístico,
sino un modelo probabilístico, que como resultado
nos dice la probabilidad de que llueva una cierta cantidad,
o la probabilidad de que la Bolsa suba un cierto porcentaje.
El resultado no es un valor determinado, sino la probabilidad
de un valor.
Veamos algunos ejemplos de fenómenos para los cuales
es apropiado utilizar un modelo probabilístico:
Experimento
1:
Se lanza un dado y se anota el número que
aparece en la cara superior.
Experimento
2:
Se arroja una moneda cuatro veces y se anota la
sucesión de caras y cruces obtenidas.
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Experimento 3:
Se fabrican
artículos en una línea de producción
y se cuenta el número de artículos defectuosos
producidos en 24 horas.
En todos
estos casos, el resultado del experimento no se puede predecir
con absoluta certeza. Hay varios resultados posibles cada
vez que se realiza la experiencia.
Para cada experimento del tipo que estamos considerando,
se define el Espacio Muestral como el conjunto de todos
los resultados posibles que pueden producirse al realizar
el experimento.
Los espacios muestrales respectivos son :
S2 = {cccc, xccc, cxcc, ccxc, cccx, xxcc, xcxc,
xccx, cxcx, ccxx, xxxc, xxcx, cxxx, xcxx, xxxx}
S3 = {1,2,3,…, N} ; N máximo de
artículos producidos en 24 horas.
Un Suceso, respecto a un espacio muestral S asociado con
determinado experimento, es un subconjunto de resultados
del espacio muestral. El conjunto vacío, el formado
por un solo elemento y el formado por todos los elementos
del espacio muestral son también sucesos.
Vemos entonces que, dado un experimento aleatorio cualquiera,
hay un espacio muestral asociado cuyos elementos son todos
los resultados que se pueden obtener de la experiencia.
Un subgrupo o subconjunto de resultados es un suceso. Ahora,
¿cómo podemos saber si la posibilidad de que
ocurra un suceso es grande o pequeña? Por ejemplo,
si arrojamos un dado, ¿cómo podemos calcular
la probabilidad de que salga un 2 ?. Para esto necesitamos
un número asociado con cada suceso, al cual se lo
denomina probabilidad del suceso. Entonces, la probabilidad
P de un suceso es un número entre 0 y 1, que nos
dice en que medida es posible que ocurra el suceso. Si la
probabilidad es 1 significa que el suceso ocurrirá
con toda certeza. Si la probabilidad es 0,5 significa que
un suceso puede ocurrir o puede no ocurrir con la misma
probabilidad. Probabilidad 0 quiere decir que el suceso
es imposible que ocurra. ¿Cómo podemos calcular
la Probabilidad de un suceso?
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La
respuesta a esta pregunta no siempre es sencilla
y depende del experimento y de su espacio muestral
asociado. Hay casos simples en los que el cálculo
es relativamente sencillo. En primer término,
supondremos que se trata de un experimento cuyo
espacio muestral es finito y tiene un número
pequeño de resultados posibles. |
En segundo término, supondremos que todos los resultados
que integran el espacio muestral (sucesos elementales) tienen
la misma probabilidad de ocurrir.
Con estas dos hipótesis, la fórmula para calcular
la probabilidad es muy sencilla. Supongamos que se trata
de un experimento cualquiera cuyo espacio muestral S tiene
N elementos (N resultados posibles). Deseamos calcular la
probabilidad de un suceso H (Un subconjunto H del espacio
muestral S) que tiene m elementos. De acuerdo a lo dicho
previamente, el número N tiene que ser pequeño
y la probabilidad de cada suceso elemental tiene que ser
la misma.
Entonces la probabilidad P de que ocurra el suceso H es:
P = m/N
Veamos algunos ejemplos.
Supongamos que se arroja un dado sobre una mesa y apostamos
a que salga un número igual o menor que 4. Sabemos
que son igualmente posibles los números: {1, 2, 3,
4, 5 y 6} (Espacio muestral con 6 elementos).
Pero los números favorables a nuestra apuesta son:
{1, 2, 3 y 4} (Suceso con 4 elementos). Entonces, la probabilidad
de que ganemos es P = 4/6 = 0,666…
Es decir que tenemos a nuestro favor una probabilidad de
0,666.. (o sea aproximadamente del 67 %).
Si apostamos a un sólo número (sacar un As),
la probabilidad de ganar sería P = 1/6 = 0,1666…
Repitiendo, la probabilidad es un número entre 0
y 1, que nos dice en que medida es posible que ocurra un
suceso.
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