CONTROL DE
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CONTROL ESTADÍSTICO DE PROCESOS

 

CAPÍULO 1.- INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD

Cada vez que realizamos un cálculo matemático para resolver un problema físico, estamos aplicando un modelo matemático a un fenómeno de la realidad.

Este fenómeno puede ser, por ejemplo, la caída de un objeto desde cierta altura, y en este caso utilizamos un modelo que es la Ley de Gravedad.

¿Qué es un modelo?. Al enfrentar un problema de física, química, ingeniería, etc., estamos analizando e investigando una parte o aspecto de la realidad material que nos rodea. Para resolver el problema, necesitamos modelar esa realidad, es decir, construir una representación en la mente de cómo ocurren los hechos, junto con ecuaciones matemáticas que permitan calcular los efectos de los mismos.

En ningún caso se debe confundir modelo con realidad. Un modelo es sólo una representación de la realidad, utilizado para estudiar y analizar dicha realidad.

Hay modelos matemáticos que nos permiten obtener un resultado numérico preciso, por ejemplo, que la velocidad de un automóvil es de 175,5 Km/Hora. O que la corriente eléctrica que circula por un cable es de 5,7 Amperios. Este tipo de modelos matemáticos se denominan Determinísticos.

Existen también fenómenos que necesitan otro tipo de modelos matemáticos, denominados no determinísticos, probabilísticos o estocásticos.

Por ejemplo, supongamos que se ha previsto la realización de unas pruebas balísticas para las que se necesita saber la cantidad de lluvia que va a caer en un próximo periodo de tiempo, antes de decidir la forma de llevar a cabo los ensayos. El Técnico responsable podrá informarse en el servicio meteorológico en relación con la presión barométrica, la temperatura, velocidad del viento y otros datos meteorológicos, sin embargo, no hay una ecuación que con todos esos datos le permita calcular de forma precisa los milímetros de lluvia que van a caer durante el periodo de tiempo que le interesa.

De la misma forma, ningún operador puede calcular cuanto va a subir la Bolsa, ni siquiera si va a subir o bajar, aún cuando tenga a su alcance todas las variables económicas disponibles.

Este tipo de fenómenos no admiten un modelo determinístico, sino un modelo probabilístico, que como resultado nos dice la probabilidad de que llueva una cierta cantidad, o la probabilidad de que la Bolsa suba un cierto porcentaje. El resultado no es un valor determinado, sino la probabilidad de un valor.

Veamos algunos ejemplos de fenómenos para los cuales es apropiado utilizar un modelo probabilístico:
Experimento 1:
    Se lanza un dado y se anota el número que aparece en la cara superior.
Experimento 2:
    Se arroja una moneda cuatro veces y se anota la sucesión de caras y cruces obtenidas.
espacio muestral

Experimento 3:
    Se fabrican artículos en una línea de producción y se cuenta el número de artículos defectuosos producidos en 24 horas.
En todos estos casos, el resultado del experimento no se puede predecir con absoluta certeza. Hay varios resultados posibles cada vez que se realiza la experiencia.
Para cada experimento del tipo que estamos considerando, se define el Espacio Muestral como el conjunto de todos los resultados posibles que pueden producirse al realizar el experimento.

Los espacios muestrales respectivos son :
    S1 = {1,2,3,4,5,6}
    S2 = {cccc, xccc, cxcc, ccxc, cccx, xxcc, xcxc, xccx, cxcx, ccxx, xxxc, xxcx, cxxx, xcxx, xxxx}
    S3 = {1,2,3,…, N} ; N máximo de artículos producidos en 24 horas.
Un Suceso, respecto a un espacio muestral S asociado con determinado experimento, es un subconjunto de resultados del espacio muestral. El conjunto vacío, el formado por un solo elemento y el formado por todos los elementos del espacio muestral son también sucesos.

Vemos entonces que, dado un experimento aleatorio cualquiera, hay un espacio muestral asociado cuyos elementos son todos los resultados que se pueden obtener de la experiencia. Un subgrupo o subconjunto de resultados es un suceso. Ahora, ¿cómo podemos saber si la posibilidad de que ocurra un suceso es grande o pequeña? Por ejemplo, si arrojamos un dado, ¿cómo podemos calcular la probabilidad de que salga un 2 ?. Para esto necesitamos un número asociado con cada suceso, al cual se lo denomina probabilidad del suceso. Entonces, la probabilidad P de un suceso es un número entre 0 y 1, que nos dice en que medida es posible que ocurra el suceso. Si la probabilidad es 1 significa que el suceso ocurrirá con toda certeza. Si la probabilidad es 0,5 significa que un suceso puede ocurrir o puede no ocurrir con la misma probabilidad. Probabilidad 0 quiere decir que el suceso es imposible que ocurra. ¿Cómo podemos calcular la Probabilidad de un suceso?
espacio muestral S La respuesta a esta pregunta no siempre es sencilla y depende del experimento y de su espacio muestral asociado. Hay casos simples en los que el cálculo es relativamente sencillo. En primer término, supondremos que se trata de un experimento cuyo espacio muestral es finito y tiene un número pequeño de resultados posibles.

En segundo término, supondremos que todos los resultados que integran el espacio muestral (sucesos elementales) tienen la misma probabilidad de ocurrir.
Con estas dos hipótesis, la fórmula para calcular la probabilidad es muy sencilla. Supongamos que se trata de un experimento cualquiera cuyo espacio muestral S tiene N elementos (N resultados posibles). Deseamos calcular la probabilidad de un suceso H (Un subconjunto H del espacio muestral S) que tiene m elementos. De acuerdo a lo dicho previamente, el número N tiene que ser pequeño y la probabilidad de cada suceso elemental tiene que ser la misma.

Entonces la probabilidad P de que ocurra el suceso H es: P = m/N

Veamos algunos ejemplos.

Supongamos que se arroja un dado sobre una mesa y apostamos a que salga un número igual o menor que 4. Sabemos que son igualmente posibles los números: {1, 2, 3, 4, 5 y 6} (Espacio muestral con 6 elementos).

Pero los números favorables a nuestra apuesta son: {1, 2, 3 y 4} (Suceso con 4 elementos). Entonces, la probabilidad de que ganemos es P = 4/6 = 0,666…

Es decir que tenemos a nuestro favor una probabilidad de 0,666.. (o sea aproximadamente del 67 %).

Si apostamos a un sólo número (sacar un As), la probabilidad de ganar sería P = 1/6 = 0,1666…

Repitiendo, la probabilidad es un número entre 0 y 1, que nos dice en que medida es posible que ocurra un suceso.

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tema escrito por: José Antonio Hervás