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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
FORMAS CUADRÁTICAS

FORMAS CUADRÁTICAS DEFINIDAS EN ESPACIOS VECTORIALES

 
LEY DE INERCIA DE SYLVESTRER

DEFINICIÓN

Siendo s el número de elementos positivos de una base ortogonal de un subespacio S y t = r-s el número de elementos negativos, el par (s, t) recibe el nombre de signatura de dicha base.

TEOREMA : LEY DE INERCIA DE SYLVESTER

Todas las bases ortogonales de V asociadas a una misma métrica f tienen la misma signatura.

DEMOSTRACIÓN

Sean {ui} y {u’i} dos bases ortogonales de V para la métrica f, y supongamos que se tiene:



Donde los ui y u’i positivos son, respectivamente, los s y s’ primeros.
Consideremos la clausura lineal de los vectores u1, …, us; para todo vector x que pertenezca a dicha clausura, se tendrá:



Operando escalarmente x consigo mismo, se tiene:



Puesto que los términos que tengan subíndices distintos serán nulos, por ser {ui} una base ortogonal.
La expresión anterior será nula cuando lo sean todos los λi. De ahí podemos deducir que se tiene:
    x ·x > 0 → x ≠ 0
Consideremos ahora la clausura lineal.
    [u's+1, ..., u'n]
Si x pertenece a dicha clausura lineal, se tiene:



Y haciendo como antes:



Puesto que los
    [u's+1, ..., u'n]
son los que cumplen



Si el vector x pertenece a la intersección de ambas clausuras, podemos poner:



Podemos recordar ahora un resultado conocido de teoría de espacio vectoriales, que dice:
Dados dos subespacios vectoriales E1 y E2 de un espacio vectorial E, de dimensión finita, se cumple:



Por lo que, considerando nuestro caso, podemos poner:



Y reagrupando términos:



Permutando en el proceso anterior la base {ui} con la base {u’i} se obtiene el resultado contrario a (***), de donde deducimos que s = s’.
Por otro lado, como se tiene:



Es decir, las bases {ui} y {u’i} tienen la misma signatura.

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tema escrito por: José Antonio Hervás