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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
FORMAS CUADRÁTICAS

FORMAS CUADRÁTICAS DEFINIDAS EN ESPACIOS VECTORIALES

 
TEOREMA DE LA BASE ORTOGONAL

TEOREMA


El espacio euclídeo V admite una base ortogonal. La matriz coordenada de una forma bilineal simétrica, φ, o de su forma cuadrática asociada, Φ es diagonal y el número de vectores de la base no isótropos coincide con el rango de φ.

DEMOSTRACIÓN

La primera parte está demostrada si consideramos el teorema anterior. Sea entonces {u1, …, un} una base ortonormal de V; los elementos de la forma bilineal simetrica según esa base, serán:



Ya que, por ser la base considerada ortogonal, resulta:



La matriz asociada será, por tanto:



En esta última expresión, todos los términos correspondientes a vectores isótropos serán nulos, por lo que podemos enunciar que el rango de la matriz y, por tanto, de la forma asociada a ella, coincide con el número de vectores no isótropos.

TEOREMA

Toda matriz simétrica admite relación de congruencia con una matriz diagonal.

DEMOSTRACIÓN

Sea φ la forma bilineal simétrica que tiene asociada en una cierta base la matriz dada. Si realizamos un cambio de coordenadas, la nueva matriz asociada a φ en la nueva base será congruente con la anterior. Eligiendo la nueva base con la condición de que sea ortogonal, se obtendrá una matriz congruente diagonal.

TEOREMA

Toda métrica ortogonal φ (o Φ) admite una matriz asociada de la forma:



Que es una matriz en la que sólo aparecen elementos no nulos en la diagonal principal, siendo estos 1’s ó (-1)’s ó 0’s

DEMOSTRACIÓN

Sea {u1, …, un} una base ortogonal de V para métrica f; si el rango de dicha forma es r, sabemos que se tiene:



Vamos a agrupar entonces los elementos con i menor o igual que r, de forma que se tenga:



Vamos a considerar una base {ei} donde los elementos ei valen



Siendo la raíz positiva en todos los casos.
La matriz asociada a dicha base tendrá por elementos:



Consideremos entonces los elementos de la forma eii:



Podemos, por tanto, poner que la matriz asociada a f en la base {ei} es de la forma dada en (**), con s 1’s, (r-s) (-1)’s y (n-r) 0’s.

Siguiente capítulo: LEY DE INERCIA DE SYLVESTER

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tema escrito por: José Antonio Hervás