BASES ORTOGONALES
DEFINICIÓN
Dado un subespacio S de un espacio vectorial V, una base ortogonal de S es una base constituida por vectores ortogonales dos a dos.
TEOREMA
Todo subespacio S de un espacio vectorial euclídeo V admite una base ortonormal.
DEMOSTRACIÓN
Sea {ai} una base cualquiera de S. Vamos a formar una sucesión de vectores vi definidos en la forma siguiente:
Donde los símbolos:
Designan coeficientes que se pueden determinar de modo que cada vi sea ortogonal a los otros vj.
Si consideramos los vectores v1 y v2 ortogonales entre sí, podemos poner:
Y puesto que:
Pues de lo contrario la base {ai} tendría un vector nulo, cosa que no puede ocurrir, podemos obtener de forma única el coeficiente λ1
Con ello obtenemos el vector v2 que resulta ortogonal a v1 y distinto del vector nulo, pues de no ser así, los vectores a1 y a2 formarían un sistema ligado que no pertenecería a la base {ai}.
Considerando ahora que v3 es ortogonal a v1 y v2, podemos poner:
De donde se obtienen los coeficientes μ1 y μ2 y, por lo tanto, el vector v3. Este vector resulta ortogonal a v1 y a v2 por su construcción y además es no nulo, pues si ocurriera esto se tendría que el sistema {a1, a2, a3} sería ligado, en contra de la hipótesis inicial.
Continuando de igual forma obtenemos el sistema de vectores v1, v2, …, vn, en el que ninguno es nulo y todos son ortogonales dos a dos.
Si dividimos cada uno de estos vectores por su norma, obtenemos una base ortonormal:
Este procedimiento empleado para demostrar el teorema de ortogonalización, donde, al mismo tiempo, se construye una base ortonormal de S, recibe el nombre de método de ortogonalización de Schmidt.
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