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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
FORMAS CUADRÁTICAS

FORMAS CUADRÁTICAS DEFINIDAS EN ESPACIOS VECTORIALES

 
BASES ORTOGONALES

DEFINICIÓN


Dado un subespacio S de un espacio vectorial V, una base ortogonal de S es una base constituida por vectores ortogonales dos a dos.

TEOREMA

Todo subespacio S de un espacio vectorial euclídeo V admite una base ortonormal.

DEMOSTRACIÓN

Sea {ai} una base cualquiera de S. Vamos a formar una sucesión de vectores vi definidos en la forma siguiente:



Donde los símbolos:



Designan coeficientes que se pueden determinar de modo que cada vi sea ortogonal a los otros vj.
Si consideramos los vectores v1 y v2 ortogonales entre sí, podemos poner:



Y puesto que:



Pues de lo contrario la base {ai} tendría un vector nulo, cosa que no puede ocurrir, podemos obtener de forma única el coeficiente λ1



Con ello obtenemos el vector v2 que resulta ortogonal a v1 y distinto del vector nulo, pues de no ser así, los vectores a1 y a2 formarían un sistema ligado que no pertenecería a la base {ai}.
Considerando ahora que v3 es ortogonal a v1 y v2, podemos poner:



De donde se obtienen los coeficientes μ1 y μ2 y, por lo tanto, el vector v3. Este vector resulta ortogonal a v1 y a v2 por su construcción y además es no nulo, pues si ocurriera esto se tendría que el sistema {a1, a2, a3} sería ligado, en contra de la hipótesis inicial.
Continuando de igual forma obtenemos el sistema de vectores v1, v2, …, vn, en el que ninguno es nulo y todos son ortogonales dos a dos.
Si dividimos cada uno de estos vectores por su norma, obtenemos una base ortonormal:



Este procedimiento empleado para demostrar el teorema de ortogonalización, donde, al mismo tiempo, se construye una base ortonormal de S, recibe el nombre de método de ortogonalización de Schmidt.


Siguiente capítulo: TEOREMA DE LA BASE ORTOGONAL

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tema escrito por: José Antonio Hervás