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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
FORMAS CUADRÁTICAS

FORMAS CUADRÁTICAS DEFINIDAS EN ESPACIOS VECTORIALES

 
ELEMENTOS Y SUBESPACIOS ISÓTROPOS

DEFINICIÓN


Se dice que un vector x de un espacio vectorial, E, es isótropo respecto a la forma bilineal φ o respecto a la forma cuadrática Φ, si se cumple:
    φ(x, x) = Φ(x) = 0
DEFINICIÓN

Se dice que un subespacio F, de E, es isótropo respecto respecto a la forma bilineal φ o respecto a la forma cuadrática Φ, si existe x (distinto de cero) de F, ortogonal a todo elemento de F.
También se dice que un subespacio S es isótropo cuando la forma subordinada a él es nula.

CONSECUENCIA 1

El núcleo de φ es un subespacio isótropo:



Tomando, por tanto, dos vectores de N, se tendrá:



CONSECUENCIA 2

Un subespacio S de V es isótropo cuando todos sus vectores son isótropos:



Si cada vector de S es isótropo respecto de si mismo, se tendrá:



Y, por lo tanto, para todo par de vectores u, v, de S, se cumplirá u•v = 0 y, por lo tanto, S es isótropo.

TEOREMA

Si un vector u es no isótropo, para todo vector, v, de V, se cumple:
    v = [u] + [u]0
Donde [u] es la clausura lineal del vector u y [u]0 el complemento ortogonal de [u].

DEMOSTRACIÓN

Para todo vector v, de V, podemos poner:



Por otro lado, si



Y, por lo tanto, multiplicando escalarmente por u la anterior expresión, tenemos:



Y puesto que u es no isótropo, se tendrá:
    u·u = u2 ≠ 0
De donde queda:



Es decir, existe un único escalar, t, que hace cumplirse la anterior relación o, lo que es igual:



Se tiene entonces que el vector w está perfectamente determinado de una manera única y podemos decir que todo vector v, de V, es suma directa de [u] y [u]0

El término t•u en la expresión (*) recibe el nombre de proyección ortogonal de v sobre u.

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tema escrito por: José Antonio Hervás