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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
FORMAS CUADRÁTICAS

FORMAS CUADRÁTICAS DEFINIDAS EN ESPACIOS VECTORIALES

 
FORMAS CUADRÁTICAS

DEFINICIONES GENERALES

Sea E un espacio vectorial sobre el cuerpo R de los números reales; se llama forma cuadrática engendrada por la forma bilineal simétrica φ a la aplicación Φ de E en R tal que:
    Φ(x) = φ(x, x) , ∀ x ∈ E
Se dice también que φ es la forma polar de Φ.
Si fijamos una base {ai} en E y consideramos la matriz A cuyo elemento aij vale φ(ai, aj), se tendrá:
    Φ(x) = Xt ⋅ A ⋅ X
Donde X es la matriz columna formada por los componentes x1, …, xn del vector x en la base {ai}.
Desarrollando el segundo miembro de la anterior ecuación, se tiene:



Es decir, que obtenemos un polinomio homogéneo de segundo grado respecto a las variables x1, …, xn y cuyos coeficientes son números reales.

TEOREMA

Toda forma bilineal simétrica, φ queda unívocamente determinada si se conoce su forma cuadrática asociada, Φ.

DEMOSTRACIÓN

Si φ es simétrica, se tiene:
    φ(u, v) = φ(v, u)
Por otro lado, según hemos definido una forma cuadrática, podemos poner:
    Φ:    V → K

      V → Φ(v) = φ(v, v)
De donde se tiene:
    Φ(u + v) - Φ(u) - Φ(v) = φ(u+v , u+v) - φ(u, u) - φ(v, v)
Y considerando las propiedades generales de una forma bilineal, podemos igualar la anterior expresión a:
    φ(u, u) + φ(u, v) + φ(v, u) + φ(v, v) - φ(u, u) - φ(v, v) = 2 ⋅ φ(u, v)
Donde esta última simplificación se ha hecho considerando la propiedad definitoria de una forma bilineal simétrica.
De la anterior cadena de igualdades, tan solo nos queda despejar el valor de la forma bilineal que será:



Recíprocamente, por una expresión análoga a la anterior se obtiene el valor de la forma cuadrática en función de la forma bilineal simétrica, con lo que queda demostrado el teorema.
Cuando el espacio vectorial E, donde está definida una forma bilineal simétrica es de dimensión finita, hemos visto que la matriz asociada a dicha forma, relativa a una base {ai} se expresaba:
    αij = φ(ai, aj)   (i, j = 1, ..., n)
Dicha matriz también es la asociada a la forma cuadrática Φ y a su determinante se le llama discriminante de Φ.
Cuando la matriz A es simétrica y el cuerpo K es conmutativo, la expresión de la forma cuadrática es:



Se dice, entonces, que el primer sumando de la última expresión es un término “cuadrado” y el segundo es un término “rectangular”

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tema escrito por: José Antonio Hervás