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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
GEOMETRÍA EUCLÍDEA

GEOMETRÍA EUCLÍDEA EN EL PLANO Y ESPACIO

 
PLANO Y ESPACIO EUCLIDEO

AREAS Y VOLÚMENES EN EL ESPACIO EUCLIDEO

AREA DE UN TRIÁNGULO.-


Sean P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) y (P3(x3, y3, z3) tres puntos del espacio, no alineados, que determinan un triángulo.

Para determinar el área de dicho triángulo consideramos los vectores P1P2 y P1P3, con lo que dicha área vendrá determinada por la mitad del área del paralelogramo que determinan los dos vectores considerados.

Como, por otro lado, el área del paralelogramo viene dada por el producto vectorial, podemos poner, finalmente, para el área del triángulo:



VOLUMEN DE UN TETRAEDRO.-

Si son P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2) , P3(x3, y3, z3) y P4(x4, y4, z4) los vértices de un tetraedro, el volumen de dicho cuerpo será:



La base es un triángulo, por lo tanto se tiene:



Por otro lado, la altura de la figura es:




de donde se deduce que el volumen del tetraedro será:




y sabiendo que el producto mixto se obtiene desarrollando el determinante de la matriz de los coeficientes, tendremos finalmente:




que, por operaciones basadas en la teoría de determinantes se puede transformar en:




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tema escrito por: José Antonio Hervás