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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
GEOMETRÍA EUCLÍDEA

GEOMETRÍA EUCLÍDEA EN EL PLANO Y ESPACIO

 
PLANO Y ESPACIO EUCLIDEO

DISTANCIAS Y ÁNGULOS EN EL ESPACIO

DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO


La distancia, d, de un punto P1(x1, y1, z1) a un plano π de ecuación:



viene dada por el producto escalar del vector PP1, donde P(x, y, z) representa un punto genérico del plano y el vector unitaria n° correspondiente al vector asociado al plano:



Expresando este producto escalar en función de las componentes de los vectores, se tiene:



pero como el punto P pertenece al plano π se tiene:



por lo que podemos poner:



Por medio de la expresión anterior se puede determinar la ecuación normal del plano. Si consideramos en particular la distancia d del origen de coordenadas O(0, 0, 0) al plano, podemos poner:



Por otro lado, si la ecuación general del plano es la dada en (*), dividiendo los dos miembros de la ecuación por



Tendremos



donde los tres primeros coeficientes representan las componentes del vector unitario n, es decir, los cosenos directores de los ángulos α , β , γ que forman la perpendicular al plano dado con los ejes 0x,0y,0z ; el cuarto coeficiente es la distancia δ del plano al origen de coordenadas. Por lo tanto, resumiendo, podemos poner:



que se conoce como ecuación normal del plano.


DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA.-

Sean un punto P0(x0, y0, z0) y una recta m de ecuación vectorial:



Si consideramos el vector director de la recta y el vector P0P1, entre ambos describen un paralelogramo cuya área vale:



Pero dicha área será el producto de la base por la altura y, si consideramos que la base viene dada por el vector n , la altura ha de ser la distancia de P a la recta, es decir:



DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS.-

En el plano no hemos considerado la distancia entre dos rectas. Únicamente se pueden dar dos casos:

rectas coincidentes o secantes, en las que se considera que su distancia es cero, y rectas paralelas, en las que su distancia se toma como la distancia de un punto cualquiera de una de ellas a la otra.
En el espacio, para las rectas concurrentes, las que se cortan y las paralelas se tienen las mismas consideraciones que en el plano.

No obstante, puede existir otro caso, que es el de dos rectas que se cruzan pero no se cortan. Entonces, la distancia entre ellas se define como la mínima distancia entre dos de sus puntos:



Para calcular dicha distancia, consideremos las rectas m y m’ de ecuaciones:



donde se tiene, respectivamente:



La distancia d(m, m’) será igual a la proyección del vector P0P’0 sobre la dirección de la perpendicular común a ambas rectas. Esta dirección viene dada por el vector unitario,



Y, por lo tanto lo tanto, tendremos:



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tema escrito por: José Antonio Hervás