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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
GEOMETRÍA EUCLÍDEA

GEOMETRÍA EUCLÍDEA EN EL PLANO Y ESPACIO

 
PLANO Y ESPACIO EUCLIDEO

PRODUCTO MIXTO.-

Dada una terna de vectores (u1, u2, u3) se llama producto mixto de los mismos, al escalar definido por la operación:



y representado en la forma: [u1, u2, u3]

PROPIEDADES.-

Si las coordenadas de los vectores de la terna son (xi, yi, zi), donde i = 1,2,3 ,entonces [u1, u2, u3] se obtiene por:




DEMOSTRACIÓN.-

Por el apartada anterior sabemos que se tiene:




por lo tanto, podemos hacer:




La aplicación VxVxV → R dada por el producto mixta es trilineal y antisimétrica

DEMOSTRACIÓN.-


La aplicación es trilineal por ser lineal para cada componente, como puede demostrarse con facilidad, es decir:



La aplicación es antisimetrica.- Si desarrollamos el producto mixto [u1, u2, u3] se tiene el resultado de la ecuación (B). Permutando los vectores u1 y u2 nos queda:



Observamos que el nuevo determinante se obtiene permutando las filas primera y segunda del primitivo. Por lo tanto, según la teoría de determinantes se tiene:



de donde se deduce:



y la aplicación definida es antisimétrica.

TEOREMA.-

El volumen del paralelepípedo determinada por la terna [u1, u2, u3] es igual al valor absoluto del producto mixto [u1, u2, u3].

DEMOSTRACIÓN.-

Sabemos que el volumen del paralelepípedo se obtiene por la expresión:

V = área de la base x altura

Si desarrollamos el producto mixto [u1, u2, u3] tenemos:



Donde



es un vector perpendicular a u2 y u3 , y cuyo modulo mide el área del paralelogramo determinado por ellos, según ya hemos visto anteriormente.

Por otro lado, el producto escalar de dos vectores es igual a la proyección de uno de ellos por el otro, es decir:



Pero



es la altura del paralelepípedo. Por lo tanto:



y el valor resultante es el volumen del paralelepípedo determinado por los tres vectores.

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tema escrito por: José Antonio Hervás