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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
GEOMETRÍA EUCLÍDEA

GEOMETRÍA EUCLÍDEA EN EL PLANO Y ESPACIO

 
PLANO Y ESPACIO EUCLIDEO

PRODUCTO VECTORIAL

Sea V un espacio vectorial euclidiano de dimensión 3.

TEOREMA.-

Dado un par de vectores (u, v) linealmente independientes, existe un solo vector w que cumple:



La terna (u, v, w) tiene orientación positiva, es decir, el determinante de la matriz coordenada en la base dada, es positivo. (ii)



donde α es el ángulo que forman u y v.

DEMOSTRACIÓN.-

Sean los vectores u(x1, y1, z1), v(x2, y2, z2), w(x, y, z) Según las consideraciones anteriores se ha de cumplir:



Supongamos que se tiene:



podemos entonces resolver este sistema indeterminado por el método de los adjuntos, con lo que tenemos:



de donde se deduce ;



Por otro lado, según hemos definido el producto vectorial, podemos poner:



y descomponiendo según las componentes:



Si sustituimos los valores de x2 ,y2 ,z2 según (A), tenemos (una vez desarrollados los determinantes):



donde esta última expresión la hemos obtenido operando con las componentes de u y v.
Simplificando los factores equivalentes nos queda:
    t² = 1 → t = ± 1
Por otro lado, si la orientación de la terna (u, v, w) es positiva, se ha de cumplir:



y desarrollando el determinante por la primera fila:



Sustituyendo x,y,z por sus valares dados en función de t:



El término entre corchetes es positivo, por encerrar una suma de expresiones al cuadrado. Por lo tanto, se ha de cumplir:



Y tenemos que la terna (x, y, z) = w queda perfectamente determinada y vale:



DEFINICIÓN.-

El vector w determinado según las consideraciones anteriores recibe el nombra de producto vectorial de u y v.

Cuando u y v son linealmente dependientes se tiene w =0. En todos los demás casos sus componentes vienen dadas por la expresión obtenida en la sección anterior.

TEOREMA.-

La aplicación de E² en E definida en la forma:



es bilineal alternada y, por lo tanto, antisimétrica, pues se tiene:



de donde se deduce:



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tema escrito por: José Antonio Hervás