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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
GEOMETRÍA EUCLÍDEA

GEOMETRÍA EUCLÍDEA EN EL PLANO Y ESPACIO

 
PLANO Y ESPACIO EUCLIDEO

ESPACIO EUCLIDIANO. COORDENADAS RECTANGULARES

DEFINICIÓN.-

Un espacio euclidiano es un espacio afín, real, cuyo espacia vectorial asociado es un espacio euclídeo.

Sea E un espacio euclideo.

DEFINICIÓN.-

Un sistema de referencia (O,u1, u2, u3) se dice rectangular si la base (u1, u2, u3) es ortonormada. Las coordenadas respectivas se dice que son rectangulares.

Si (0, v1, v2, v3) es otro sistema de referencia, entonces el cambio de base viene dado por la ecuación matricial:
    X = P + A·X
Vamos a determinar los coeficientes aij de la matriz de paso. Para ello, suponemos que damos un giro al sistema primitivo. Con lo que tenemos:



Y desarrollando;



y en general:



Si multiplicamos escalarmente cada expresión por ui nos queda:



de donde podemos poner:



El cambio de coordenadas puede ser:

i) traslación de ejes:



con lo que la expresión del cambio de coordenadas será:



ii) rotación alrededor de un eje. Sea, por ejemplo, un giro alrededor del eje 0 + [u1]. El cambio de bases será:



y los coeficientes de la matriz de paso valdrán:



Los demás coeficientes forman en este caso una submatriz de la forma:



y por lo tanto, la matriz A de cambio será:




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tema escrito por: José Antonio Hervás