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MONOGRAFIAS MATEMÁTICAS
GEOMETRÍA EUCLÍDEA

GEOMETRÍA EUCLÍDEA EN EL PLANO Y ESPACIO

 
PLANO Y ESPACIO EUCLIDEO

DEFINICIONES GENERALES

DEFINICIÓN.-
Un plano euclidiano es un plano afín, real, cuyo plano vectorial es euclídeo.

DEFINICIÓN.-

En un espacio euclídeo real, V, el ángulo formado por dos elementos no nulos x e y, se define como el escalar α del intervalo
    0 ≤ α ≤ π/2
que satisface la ecuación:



DEFINICIÓN.-

Se llama distancia entre dos puntos P y Q a la norma del vector PQ.

DEFINICIÓN.-

Se llama ángulo de dos rectas al ángulo que forman su» vectores direccionales respectivos. Con esta DEFINICIÓN se obtienen dos valores que corresponden a ángulos suplementarios.

COORDENADAS RECTANGULARES. -CAMBIO DE COORDENADAS,-

Sea E un plano euclidiano.

DEFINICIÓN.-

Un sistema de referencia (0, u1, u2) se dice rectangular si la base (u1, u2) es ortonormada. Las coordenadas respectivas se dicen rectangulares.

Si los vectores de la base (u1, u2) son tales que se tiene



se dice que. las coordenadas son oblicuas.

Sean {v1, v2} y {u1, u2} dos bases ortonormadas de E y supongamos que se tiene:



Vamos a determinar los coeficientes aij, de la matriz de paso en un cambio de coordenadas rectangulares. Para ello, hacemos:



puesto que se tiene:



Haciendo operaciones resulta:



Luego, la matriz del cambio de coordenadas será:



que es una matriz ortogonal en la que se cumplen las siguientes relaciones:



En general, una matriz de tales características expresa un giro de coordenadas.

Cuando el cambio de coordenadas conlleva también una traslación, la ecuación matricial del cambio de coordenadas es de la forma:



que desarrollado queda:




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tema escrito por: José Antonio Hervás